Vierfeldertafel und Baumdiagramm verbinden
Ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel zeigen dieselben Daten. Du wandelst sie ineinander um.
Das lernst du heute
- Ich übertrage ein Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel.
- Ich lese aus der Tafel die Wahrscheinlichkeiten für den Baum ab.
- Ich berechne Wahrscheinlichkeiten mit Pfadregeln und Tafel.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Pfadmultiplikationsregel, Die Pfadadditionsregel, Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
Ein Baumdiagramm zeigt zwei Stufen mit Pfaden. Eine Vierfeldertafel zeigt dieselben Daten in einer Tabelle. Beispiel: Maschine A stellt 40 % der Teile her, Maschine B stellt 60 % her. Von den Teilen aus A sind 5 % defekt, von denen aus B sind 10 % defekt. Der Baum hat vier Pfade. Auf jedem Pfad multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten: P(A und defekt) = 0,4 · 0,05 = 0,02. Diese vier Ergebnisse stehen in den inneren Feldern der Tafel. Zur Anschauung stellst du dir 1000 Teile vor. Dann sind die Felder 20, 380, 60 und 540. Die Randsumme für „defekt“ addiert die Pfade A defekt und B defekt: 0,02 + 0,06 = 0,08. Das ist die Pfadadditionsregel.
| Pfad | Rechnung | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| A, defekt | 0,4 · 0,05 | 0,02 |
| A, in Ordnung | 0,4 · 0,95 | 0,38 |
| B, defekt | 0,6 · 0,1 | 0,06 |
| B, in Ordnung | 0,6 · 0,9 | 0,54 |
Vom Baum zur Tafel
- Stelle dir 1000 Teile vor.
- Von A kommen 40 % = 400 Teile. Von B kommen 600 Teile.
- A und defekt: 5 % von 400 = 20. A und in Ordnung: 380.
- B und defekt: 10 % von 600 = 60. B und in Ordnung: 540.
- Defekt insgesamt: 20 + 60 = 80, also 8 %.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Auf einem Pfad: mal.
Bei mehreren Pfaden zum selben Ergebnis: plus.
Die Tafel stellt beides in einer Tabelle dar.
Ein Beispiel
Von 1000 Teilen kommen 400 aus A. Davon sind 5 % defekt, das sind 20 Teile. Diese Zahl steht im Feld „A und defekt“.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Nimm 1000 Fälle an.
- Teile sie nach der ersten Stufe auf.
- Teile jede Gruppe nach der zweiten Stufe auf.
- Trage die Zahlen in die Tafel ein.
Mit einem Bild erklärt
| defekt | in Ordnung | Summe | |
|---|---|---|---|
| A | 20 | 380 | 400 |
| B | 60 | 540 | 600 |
| Summe | 80 | 920 | 1000 |
Zur Grundlage zurück
- Die Pfadmultiplikationsregel – Auf einem Pfad wird multipliziert.
- Die Pfadadditionsregel – Mehrere Pfade werden addiert.
- Von Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten – Du kannst Wahrscheinlichkeiten aus einer Tafel ablesen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Maschine B stellt 60 % der Teile her, 10 % davon sind defekt. Von 1000 Teilen: Wie viele sind von B und defekt?
Zeig mir den ersten Schritt
Von B kommen 600 Teile.
Lösung ansehen
Lösung: 60
10 % von 600 sind 60.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Tafel zeigt: A und defekt 20, A und in Ordnung 380, B und defekt 60, B und in Ordnung 540. Wie viel Prozent aller 1000 Teile sind defekt?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die defekten Teile aus A und B.
Lösung ansehen
Lösung: 8
20 + 60 = 80. 80 von 1000 sind 8 %.
Tipp: Rechne mit 1000 Fällen. Dann sind aus Wahrscheinlichkeiten Zahlen geworden, die du leicht in die Tafel schreibst.
Merksatz: Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten des Baums sind die vier inneren Felder der Tafel, geteilt durch die Gesamtzahl. Randsummen entstehen durch Pfadaddition.
Typischer Fehler: Manche addieren die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Stufe und der zweiten Stufe. Auf einem Pfad wird multipliziert. Erst wenn mehrere Pfade zum selben Ergebnis führen, wird addiert.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Im Baum gilt: P(B) = 0,6 und P(in Ordnung | B) = 0,9. Wie viel Prozent aller Teile sind von B und in Ordnung?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere entlang des Pfads.
Lösung ansehen
Lösung: 54
0,6 · 0,9 = 0,54 = 54 %.
Frage 2 Im Baum gilt: P(A) = 0,4 und P(in Ordnung | A) = 0,95. Wie viel Prozent aller Teile sind von A und in Ordnung?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere entlang des Pfads.
Lösung ansehen
Lösung: 38
0,4 · 0,95 = 0,38 = 38 %.
Lösung ansehen
Lösung: 0,02 + 0,06
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 5 Von 1000 Teilen sind 20 von A und defekt, 380 von A und in Ordnung. Wie viele der 1000 Teile sind von Maschine A?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die beiden Felder der Zeile A.
Lösung ansehen
Lösung: 400
20 + 380 = 400.
Geschafft
Baum und Tafel zeigen dieselben Daten. Aus dem Baum bekommst du die Felder durch Multiplizieren. Aus der Tafel bekommst du die Wahrscheinlichkeiten im Baum durch Teilen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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