Das Baumdiagramm umkehren
Manchmal kennst du die Wahrscheinlichkeiten in der falschen Reihenfolge. Mit der Tafel kehrst du den Baum um.
Das lernst du heute
- Ich erkenne, wenn ein Baum umgekehrt werden muss.
- Ich nutze die Vierfeldertafel zum Umkehren.
- Ich unterscheide P(B | A) und P(A | B).
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Vierfeldertafel und Baumdiagramm verbinden
Manchmal ist der Baum in der falschen Richtung gegeben. Beispiel: An 30 % der Tage regnet es (R). Bei Regen tragen 70 % der Leute einen Schirm (S). Ohne Regen sind es 20 %. Du siehst jemanden mit Schirm. Wie wahrscheinlich ist es, dass es regnet? Gefragt ist P(R | S). Im Baum steht aber P(S | R). Die Tafel hilft. Stell dir 1000 Personen vor, die du an zufälligen Tagen triffst. Bei 300 von ihnen regnet es. Davon Schirm: 70 % von 300 = 210, kein Schirm: 90. Kein Regen: 700. Davon Schirm: 20 % von 700 = 140, kein Schirm: 560. Insgesamt tragen 210 + 140 = 350 Personen einen Schirm. Von ihnen waren 210 bei Regen. P(R | S) = 210 : 350 = 0,6 = 60 %.
| Schirm | kein Schirm | Summe | |
|---|---|---|---|
| Regen | 210 | 90 | 300 |
| kein Regen | 140 | 560 | 700 |
| Summe | 350 | 650 | 1000 |
Den Baum umkehren
- Vom ersten Baum zur Tafel mit 1000 Fällen: 210, 90, 140, 560.
- Die neue erste Stufe ist „Schirm“ oder „kein Schirm“. Die Summen sind 350 und 650.
- P(Regen | Schirm) = 210 : 350 = 60 %.
- P(kein Regen | Schirm) = 140 : 350 = 40 %.
- Probe: 60 % + 40 % = 100 %.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Baum 1 liefert die Tafel.
Die Tafel liefert Baum 2.
Der Nenner ist die Summe der Bedingung.
Ein Beispiel
Du triffst 350 Personen mit Schirm. 210 von ihnen sind an einem Regentag unterwegs. Der Anteil ist 210 von 350.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Nimm 1000 Fälle an.
- Berechne alle vier Felder.
- Bilde die Randsumme der gesuchten Bedingung.
- Teile das passende Feld durch diese Randsumme.
Mit einem Bild erklärt
| Baum 1 (Regen zuerst) | Baum 2 (Schirm zuerst) | |
|---|---|---|
| 1. Stufe | Regen 30 %, kein Regen 70 % | Schirm 35 %, kein Schirm 65 % |
| 2. Stufe | Schirm bei Regen 70 % | Regen bei Schirm 60 % |
Zur Grundlage zurück
- Vierfeldertafel und Baumdiagramm verbinden – Du kannst Baum und Tafel ineinander umwandeln.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Im Regenbeispiel gilt: Von 1000 Personen sind 700 an Tagen ohne Regen unterwegs. 20 % von ihnen tragen einen Schirm. Wie viele Personen tragen an Tagen ohne Regen einen Schirm?
Zeig mir den ersten Schritt
20 % von 700.
Lösung ansehen
Lösung: 140
0,2 · 700 = 140.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
In einem Verein sind 40 % der Mitglieder Jugendliche. Von den Jugendlichen kommen 30 % mit dem Rad zum Training, von den Erwachsenen 60 %. Wie viel Prozent der Radfahrenden sind Jugendliche?
Zeig mir den ersten Schritt
Nimm 1000 Mitglieder. Jugendliche: 400, Erwachsene: 600.
Lösung ansehen
Lösung: 25
Radfahrende Jugendliche: 120. Radfahrende Erwachsene: 360. Zusammen 480. Jugendliche unter den Radfahrenden: 120 : 480 = 25 %.
Tipp: Lies in der Frage genau, welches Ereignis die Bedingung ist. Die Bedingung bestimmt den Nenner.
Merksatz: Umkehren: Baum → Tafel → neuer Baum. Die Bedingung steht hinter dem senkrechten Strich und liefert den Nenner.
Typischer Fehler: Viele verwechseln P(S | R) mit P(R | S). Hier ist P(S | R) = 70 %, aber P(R | S) = 60 %. Die Zahlen sind verschieden, weil die Gruppen verschieden groß sind.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Beim Regenbeispiel tragen 350 von 1000 Personen einen Schirm. Davon waren 140 an Tagen ohne Regen unterwegs. Wie viel Prozent der Personen mit Schirm waren an Tagen ohne Regen unterwegs?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 140 durch 350.
Lösung ansehen
Lösung: 40
140 : 350 = 0,4 = 40 %.
Frage 2 Beim Regenbeispiel: Wie viele von 1000 Personen tragen insgesamt einen Schirm?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die Schirmträger bei Regen und ohne Regen.
Lösung ansehen
Lösung: 350
210 + 140 = 350.
Lösung ansehen
Lösung: 210 350stel
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Beim Regenbeispiel: Wie viel Prozent der Personen an Regentagen tragen keinen Schirm? (Bei Regen ohne Schirm: 90 von 300)
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 90 durch 300.
Lösung ansehen
Lösung: 30
90 : 300 = 0,3 = 30 %.
Geschafft
Um einen Baum umzukehren, übertrage ihn in eine Vierfeldertafel. Dann teilst du die inneren Felder durch die Randsummen der neuen ersten Stufe.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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