Ein Modell begründet auswählen
Mehrere Modelle können zu einer Situation passen. Du wählst eines aus und begründest die Wahl mit den Messwerten und dem Sachzusammenhang.
Das lernst du heute
- Ich vergleiche Modelle mit Messwerten.
- Ich nutze den Sachzusammenhang zur Auswahl.
- Ich formuliere eine vollständige Begründung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Den passenden Funktionstyp finden, Passt das Modell?
Eine Algenschicht wird gemessen (ausgedachte Werte). Tag 0 bis 3: 10, 20, 41 und 79 cm².
Modell 1 ist linear: y = 10 + 23x. Es liefert 10, 33, 56, 79. Modell 2 ist exponentiell: y = 10 · 2ˣ. Es liefert 10, 20, 40, 80.
Vergleiche die Abweichungen zwischen Modell und Messwert. Bei Modell 1 sind sie 0, 13, 15, 0, zusammen 28. Bei Modell 2 sind sie 0, 0, 1, 1, zusammen 2. Modell 2 passt viel besser.
Auch der Sachzusammenhang spricht für Modell 2: Algen vermehren sich durch Teilung. Solange genug Platz und Licht da sind, wächst ihre Fläche ungefähr mit festem Faktor. Eine vollständige Begründung nennt beides: die Passung zu den Messwerten und den Sachzusammenhang.
Bei einem Tank, in den eine Pumpe gleichmäßig Wasser pumpt, wäre dagegen ein lineares Modell richtig.
| Tag | 0 | 1 | 2 | 3 | Summe der Abweichungen |
|---|---|---|---|---|---|
| Messwert | 10 | 20 | 41 | 79 | |
| linear: 10 + 23x | 10 | 33 | 56 | 79 | 28 |
| exponentiell: 10 · 2ˣ | 10 | 20 | 40 | 80 | 2 |
Begründung schreiben
- 1. Passung: Das Modell 10 · 2ˣ weicht nur um 0 bis 1 cm² von den Messwerten ab. Das lineare Modell weicht um bis zu 15 cm² ab.
- 2. Sachzusammenhang: Algen vermehren sich durch Teilung. Ihre Fläche wächst ungefähr mit festem Faktor. Das passt zu einer Exponentialfunktion.
- 3. Ergebnis: Ich wähle das exponentielle Modell.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Abweichungen vergleichen.
Frage: Passt das zur Situation?
Begründung in drei Teilen.
Ein Beispiel
Ein Guthaben mit Zinseszins wächst mit festem Faktor. Dein zurückgelegter Schulweg wird bei gleichem Tempo gleichmäßig länger. Beide Situationen brauchen unterschiedliche Modelle.
Schritt für Schritt
Wir wählen ein Modell für einen Tank
- Eine Pumpe füllt 20 Liter pro Minute ein.
- Das heißt: In gleicher Zeit kommt gleich viel dazu.
- Der Zusammenhang ist linear: f(t) = 20 · t.
- Begründung: gleiche Zunahme pro Minute.
Mit einem Bild erklärt
| Minute | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Liter | 0 | 20 | 40 | 60 |
| Zunahme | 20 | 20 | 20 |
Zur Grundlage zurück
- Den passenden Funktionstyp finden – Du kennst den Weg zum Funktionstyp.
- Passt das Modell? – Das Prüfen von Modellen kennst du von Parabeln.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Das lineare Modell liefert für Tag 2 den Wert 56. Gemessen sind 41. Wie groß ist die Abweichung?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 56 − 41.
Lösung ansehen
Lösung: 15
Die Abweichung ist 15.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Beim Modell 10 · 2ˣ sind die Abweichungen 0, 0, 1 und 1. Wie groß ist die Summe der Abweichungen?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die vier Zahlen.
Lösung ansehen
Lösung: 2
0 + 0 + 1 + 1 = 2.
Tipp: Eine gute Begründung hat drei Teile: Passung zu den Messwerten, Sachzusammenhang und Ergebnis.
Merksatz: Wähle ein Modell nach der Passung zu den Messwerten und nach dem Sachzusammenhang. Begründe beides.
Typischer Fehler: Viele wählen das Modell, das nur an zwei Punkten stimmt. Prüfe alle Messwerte und frage, ob die Funktion zur Situation passt.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: linear
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Lösung: quadratisch
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Lösung: Es passt zu den Messwerten und zum Sachzusammenhang.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Ein Modell wird nach der Passung zu den Daten und nach dem Sachzusammenhang gewählt. Eine Begründung nennt beides.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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