Den passenden Funktionstyp finden
Echte Messwerte schwanken ein wenig. Du entscheidest, ob Differenzen oder Quotienten ungefähr gleich sind, und stellst einen Term auf.
Das lernst du heute
- Ich erkenne den Funktionstyp trotz kleiner Abweichungen.
- Ich stelle einen Funktionsterm auf.
- Ich prüfe den Term an den Messwerten.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Messreihen mit der Tabellenkalkulation darstellen, Eigenschaften vergleichen
Messwerte sind selten exakt. Sie schwanken durch Messfehler ein wenig. Deshalb sind Differenzen oder Quotienten nur ungefähr gleich.
Vorgehen: 1. Messreihe als Diagramm ansehen. 2. Differenzen berechnen. 3. Zweite Differenzen berechnen. 4. Quotienten berechnen. 5. Term aufstellen und mit allen Messwerten vergleichen.
Beispiel (ausgedacht): Messwerte 3,1; 5,9; 12,2; 23,8; 48,1 für x = 0 bis 4. Die Differenzen sind 2,8; 6,3; 11,6; 24,3, also nicht gleich. Die Quotienten sind etwa 1,9; 2,1; 2,0; 2,0. Sie liegen nahe bei 2.
Der Typ ist exponentiell mit b ≈ 2. Der Startwert ist etwa 3. Term: f(x) = 3 · 2ˣ. Die Probe liefert 3; 6; 12; 24; 48. Das liegt nahe an den Messwerten.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Messwert | 3,1 | 5,9 | 12,2 | 23,8 | 48,1 |
| Quotient | 1,9 | 2,1 | 2,0 | 2,0 | |
| Modell 3 · 2ˣ | 3 | 6 | 12 | 24 | 48 |
Welcher Typ steckt in 1,1; 2,0; 5,1; 9,9; 17,2?
- Differenzen: 0,9; 3,1; 4,8; 7,3. Nicht gleich: nicht linear.
- Zweite Differenzen: 2,2; 1,7; 2,5. Sie liegen nahe bei 2.
- Quotienten: 1,8; 2,6; 1,9; 1,7. Nicht gleich: nicht exponentiell.
- Typ: quadratisch. Ein passender Term ist f(x) = x² + 1.
- Probe: 1; 2; 5; 10; 17. Das liegt nahe an den Messwerten.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Nicht exakt, sondern ungefähr gleich.
Term aufstellen.
Mit allen Messwerten vergleichen.
Ein Beispiel
Beim Wiegen von Obst schwankt die Waage um ein paar Gramm. Trotzdem erkennst du, welcher Preis pro Kilogramm gilt.
Schritt für Schritt
Wir finden den Term zu 5,0; 7,1; 8,9; 11,1; 12,9
- Differenzen: 2,1; 1,8; 2,2; 1,8. Sie liegen nahe bei 2.
- Typ: linear mit Steigung etwa 2.
- Startwert etwa 5.
- Term: f(x) = 2x + 5. Probe: 5; 7; 9; 11; 13.
Mit einem Bild erklärt
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Messwert | 5,0 | 7,1 | 8,9 | 11,1 | 12,9 |
| Modell 2x + 5 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
Zur Grundlage zurück
- Messreihen mit der Tabellenkalkulation darstellen – Du hast dort Differenzen und Quotienten berechnet.
- Eigenschaften vergleichen – Du kennst die Eigenschaften der Funktionsklassen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: linear
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: quadratisch
Tipp: Die Zahlen müssen nicht exakt gleich sein. Wichtig ist: Liegen alle Werte nahe beieinander?
Merksatz: Bei Messwerten gilt: ungefähr gleiche Differenzen, zweite Differenzen oder Quotienten genügen. Danach den Term aufstellen und an allen Messwerten prüfen.
Typischer Fehler: Viele verlangen exakt gleiche Werte und finden deshalb nichts. Echte Messwerte weichen leicht ab. Entscheidend ist, dass die Abweichungen klein bleiben.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: exponentiell
Frage 2 Das Modell f(x) = 3 · 2ˣ sagt für x = 5 einen Wert voraus. Wie groß ist er?
Zeig mir den ersten Schritt
2⁵ = 32.
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Lösung: 96
3 · 32 = 96.
Frage 3 Das Modell f(x) = 2x + 5 sagt für x = 4 einen Wert voraus. Wie groß ist er?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 4 = 8.
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Lösung: 13
8 + 5 = 13.
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Lösung: Stimmt
Geschafft
Du erkennst den Funktionstyp auch bei schwankenden Messwerten. Danach stellst du einen Term auf und prüfst ihn.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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