Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt
Fehlt in der Gleichung die reine Zahl, klammerst du x aus. Dann liest du die Lösungen am Produkt ab.
Das lernst du heute
- Ich klammere x aus.
- Ich nutze den Satz vom Nullprodukt.
- Ich gebe beide Lösungen an.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Ausklammern, Rein quadratische Gleichungen
Manche Gleichungen haben kein Zahlenglied, also keine reine Zahl ohne x. Ein Beispiel ist x² − 5x = 0. Hier klammerst du x aus: x · (x − 5) = 0.
Jetzt hilft der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder x = 0 oder x − 5 = 0, also x = 5. Die Lösungsmenge ist L = {0; 5}.
Der Satz gilt auch, wenn das Produkt schon gegeben ist. Bei (x − 2)(x + 7) = 0 ist x − 2 = 0 oder x + 7 = 0, also x = 2 oder x = −7.
| Gleichung | Ausgeklammert | Lösungen |
|---|---|---|
| x² − 5x = 0 | x(x − 5) = 0 | 0 und 5 |
| x² + 6x = 0 | x(x + 6) = 0 | 0 und −6 |
| (x − 2)(x + 7) = 0 | schon ein Produkt | 2 und −7 |
3x² + 12x = 0 lösen
- Gemeinsamer Faktor: 3x.
- 3x · (x + 4) = 0
- Faktor 1: 3x = 0, also x = 0.
- Faktor 2: x + 4 = 0, also x = −4.
- Probe x = −4: 3 · 16 + 12 · (−4) = 48 − 48 = 0.
- L = {−4; 0}
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Rechts steht 0.
Links x ausklammern.
Jeden Faktor gleich 0 setzen.
Ein Beispiel
Du multiplizierst zwei Zahlen und erhältst 0. Dann muss eine der beiden Zahlen 0 gewesen sein.
Schritt für Schritt
Wir lösen x² − 7x = 0
- x² − 7x = 0
- x · (x − 7) = 0
- x = 0 oder x − 7 = 0
- x = 0 oder x = 7
- L = {0; 7}
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Gleichung |
|---|---|
| Start | x² − 7x = 0 |
| Ausklammern | x(x − 7) = 0 |
| Nullprodukt | x = 0 oder x = 7 |
Zur Grundlage zurück
- Ausklammern – Das Ausklammern kennst du von dort.
- Rein quadratische Gleichungen – Dort hast du rein quadratische Gleichungen gelöst.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse x² − 7x = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Klammere x aus.
Lösung ansehen
Lösung: 7
x(x − 7) = 0 gibt x = 0 oder x = 7.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 2x² − 8x = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Klammere 2x aus.
Lösung ansehen
Lösung: 4
2x(x − 4) = 0 gibt x = 0 oder x = 4.
Tipp: Prüfe: Steht rechts wirklich 0? Nur dann darfst du den Satz vom Nullprodukt nutzen.
Merksatz: a · b = 0 gilt genau dann, wenn a = 0 oder b = 0. Ausklammern macht aus einer Summe ein Produkt.
Typischer Fehler: Viele teilen x² = 5x durch x und erhalten nur x = 5. Dabei geht die Lösung x = 0 verloren. Klammere stattdessen aus.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: L = {3; −5}
Lösung ansehen
Lösung: x(x + 6) = 0
Frage 3 Löse x² + 9x = 0. Wie lautet die kleinere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
x(x + 9) = 0.
Lösung ansehen
Lösung: -9
x = 0 oder x = −9. Die kleinere ist −9.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Mit Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt löst du Gleichungen ohne Zahlenglied. Eine Lösung ist dabei immer x = 0.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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