Warum es immer 180° sind
Messen reicht nicht als Beweis. Mit einer Parallelen und den Wechselwinkeln begründest du, dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt.
Das lernst du heute
- Ich kann begründen, warum die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt.
- Ich weiß, wo ich Wechselwinkel in der Begründung nutze.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Stufenwinkel und Wechselwinkel, Die Winkelsumme im Dreieck
Beim Messen erhältst du bei jedem Dreieck etwa 180°. Messen ist aber ungenau und prüft nur ein Dreieck. In der Mathematik begründest du darum. Idee: Das Dreieck ABC hat die Winkel α (bei A), β (bei B) und γ (bei C). Zeichne durch C die Parallele zur Seite AB. Bei C entstehen dann auf der Geraden drei Winkel nebeneinander: links α', in der Mitte γ, rechts β'. Zusammen bilden sie eine gerade Linie, also 180°. α' ist der Wechselwinkel zu α, also α' = α. β' ist der Wechselwinkel zu β, also β' = β. Damit gilt: α + γ + β = 180°.
Die Begründung in vier Schritten
- Zeichne durch C die Parallele zu AB.
- Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß: α' = α und β' = β.
- Bei C liegen α', γ und β' auf einer Geraden: α' + γ + β' = 180°.
- Ersetze α' durch α und β' durch β: α + β + γ = 180°. Das gilt für jedes Dreieck.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zeichne die Parallele durch C.
Die Winkel bei C liegen auf einer Geraden: 180°.
Die äußeren zwei sind Wechselwinkel zu α und β.
Ein Beispiel
Du bastelst ein Dreieck aus drei Stäben. Du schiebst eine Parallele zur untersten Seite durch die obere Spitze. Die Winkel unten sind dann oben noch einmal zu sehen. Zusammen mit dem Spitzenwinkel ergibt das eine gerade Linie.
Schritt für Schritt
Die Winkelsumme begründen
- Zeichne das Dreieck ABC.
- Zeichne die Parallele zu AB durch C.
- Markiere α' und β' als Wechselwinkel zu α und β.
- Schreibe: α' + γ + β' = 180°, also α + β + γ = 180°.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Aussage | Grund |
|---|---|---|
| 1 | α' = α | Wechselwinkel an Parallelen |
| 2 | β' = β | Wechselwinkel an Parallelen |
| 3 | α' + γ + β' = 180° | gerade Linie |
| 4 | α + β + γ = 180° | Einsetzen |
Zur Grundlage zurück
- Stufenwinkel und Wechselwinkel – Wechselwinkel brauchst du für die Begründung.
- Die Winkelsumme im Dreieck – Die Winkelsumme kennst du aus der Lektion davor.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Wo liegen α und α'? Zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten.
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Lösung: Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Durch C ist die Parallele zu AB gezeichnet. α = 55° und β = 65°. Wie groß ist γ?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei C gilt: α' + γ + β' = 180° mit α' = 55° und β' = 65°.
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Lösung: 60
180° − 55° − 65° = 60°.
Tipp: Die Begründung funktioniert für jedes Dreieck, weil du keine Zahlen benutzt. Du brauchst nur die Sätze über Wechselwinkel und gerade Linien.
Merksatz: Winkelsumme im Dreieck: Parallele durch C, Wechselwinkel, gerade Linie = 180°.
Typischer Fehler: Viele halten Ausmessen für einen Beweis. Das prüft nur ein einzelnes Dreieck und ist ungenau. Eine Begründung gilt für alle Dreiecke.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: Es prüft nur ein Dreieck und ist ungenau
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Lösung: Stimmt
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Lösung: Die Parallele zu AB durch C
Frage 4 Bei C liegen α', γ und β' auf einer Geraden. α' = 50° und β' = 70°. Wie groß ist γ?
Zeig mir den ersten Schritt
Auf einer Geraden ergeben die Winkel zusammen 180°.
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Lösung: 60
180° − 50° − 70° = 60°.
Geschafft
Durch C legst du die Parallele zu AB. Die Wechselwinkel α' und β' sind so groß wie α und β. Mit γ bilden sie eine gerade Linie. So folgt α + β + γ = 180° für jedes Dreieck.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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