Der Graph der Sinusfunktion
Trägst du sin x gegen den Winkel x auf, entsteht eine Wellenlinie. Sie wiederholt sich alle 360°.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe den Graphen von f(x) = sin x.
- Ich nenne Periode, Höchst- und Tiefstwert, Nullstellen.
- Ich berechne Werte über 360° hinaus.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Die Normalparabel y = x²
Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel x den Wert sin x zu: f(x) = sin x. Hier schreiben wir den Winkel x in Grad. Die Werte aus der Tabelle der letzten Lektion ergeben einen Graphen.
Der Graph sieht aus wie eine Welle. Er beginnt bei (0°|0), steigt bis zum Hochpunkt (90°|1), sinkt über (180°|0) bis zum Tiefpunkt (270°|−1) und kehrt bei (360°|0) zum Anfang zurück. Danach wiederholt er sich.
Alle Funktionswerte liegen zwischen −1 und 1. Die Periode ist 360°. Es gilt also sin(x + 360°) = sin x. Die Nullstellen liegen bei 0°, 180°, 360° und so weiter.
| x | 0° | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° | 210° | 240° | 270° | 300° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 |
Werte über 360° hinaus
- Gesucht ist sin 450°.
- 450° − 360° = 90°.
- sin 450° = sin 90° = 1.
- Gesucht ist sin 570°: 570° − 360° = 210°.
- sin 570° = sin 210° = −0,5.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Der Graph ist eine Welle.
Er geht hoch bis 1 und runter bis −1.
Nach 360° beginnt er von vorn.
Ein Beispiel
Den Ton einer Stimmgabel beschreibt man gut mit einer Sinuswelle. Die Luft ist abwechselnd dichter und dünner. Das wiederholt sich gleichmäßig.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen sin 810°
- Die Periode ist 360°.
- 810° − 2 · 360° = 810° − 720° = 90°.
- sin 810° = sin 90° = 1.
Mit einem Bild erklärt
| Winkel | Rechnung | wie bei |
|---|---|---|
| 810° | 810° − 720° | 90° |
| Wert | sin 90° = 1 |
Zur Grundlage zurück
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis – Die Werte stammen vom Einheitskreis.
- Die Normalparabel y = x² – Wertetabellen und Graphen kennst du von dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie groß ist sin 450°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 360° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 1
450° − 360° = 90°. sin 90° = 1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie groß ist sin 540°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 360° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 0
540° − 360° = 180°. sin 180° = 0.
Tipp: Ziehe so oft 360° ab, bis der Winkel zwischen 0° und 360° liegt.
Merksatz: f(x) = sin x hat die Periode 360°, Höchstwert 1 und Tiefstwert −1. Die Nullstellen liegen bei 0°, 180°, 360° …
Typischer Fehler: Viele denken, der Graph steige immer weiter. Das stimmt nicht. Er schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich alle 360°.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: bei 270°
Frage 2 Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = sin x?
Zeig mir den ersten Schritt
Schau in die Tabelle. Welcher Wert ist am größten?
Lösung ansehen
Lösung: 1
Der größte Wert ist 1, bei 90°.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Wie groß ist sin 810°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 2 · 360° = 720° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 1
810° − 720° = 90°. sin 90° = 1.
Lösung ansehen
Lösung: 0,5
Geschafft
Der Graph von sin x ist eine Welle mit Periode 360°. Er bleibt zwischen −1 und 1. Werte über 360° führst du auf Werte unter 360° zurück.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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