Zusammengesetzte Körper berechnen
Viele Gegenstände bestehen aus mehreren Körpern. Du zerlegst sie, rechnest einzeln und setzt zusammen.
Das lernst du heute
- Ich zerlege einen Körper in bekannte Teile.
- Ich addiere die Teilvolumina.
- Ich weiß, welche Flächen bei der Oberfläche wegfallen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Zusammengesetzte Körper, Das Volumen des Kegels
Ein Turm besteht aus einem Würfel und einer Pyramide. Ein Silo besteht aus einem Zylinder und einem Kegel. Eine Eistüte mit Kugel besteht aus einem Kegel und einer Halbkugel. So gehst du vor: Zerlege den Körper in Teile, die du kennst. Berechne das Volumen jedes Teils. Addiere die Teilvolumina. Bei der Oberfläche musst du aufpassen. Die Fläche, an der zwei Teile zusammenstoßen, liegt innen. Sie gehört nicht zur Oberfläche. Für die Halbkugel gilt: V = zwei Drittel · π · r³ und für die gewölbte Fläche 2 · π · r². Das ist jeweils die Hälfte der Kugelwerte.
Turm aus Würfel und Pyramide
- Würfel mit Kante 6 cm, darauf eine Pyramide mit a = 6 cm, h = 4 cm und hs = 5 cm.
- Volumen Würfel: 6 · 6 · 6 = 216 cm³.
- Volumen Pyramide: ein Drittel · 36 · 4 = 48 cm³.
- Gesamtvolumen: 216 + 48 = 264 cm³.
- Oberfläche: Würfel ohne Deckfläche 5 · 36 = 180 cm² plus Mantel 60 cm² ergibt 240 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Teile den Körper.
Rechne jedes Teil einzeln.
Addiere am Ende.
Ein Beispiel
Eine Eistüte mit einer halben Kugel oben besteht aus einem Kegel und einer Halbkugel. Du rechnest zwei Volumina und addierst sie.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Zerlege den Körper in einfache Teile.
- Schreibe zu jedem Teil die Maße auf.
- Berechne die Teilvolumina.
- Addiere.
Mit einem Bild erklärt
| Teil | Rechnung | Volumen |
|---|---|---|
| Würfel | 6 · 6 · 6 | 216 cm³ |
| Pyramide | ein Drittel · 36 · 4 | 48 cm³ |
| Turm | 216 + 48 | 264 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Zusammengesetzte Körper – Du hast schon Körper aus Prismen zerlegt.
- Das Volumen des Kegels – Du brauchst Kegel- und Zylinderformeln.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Turm besteht aus einem Würfel mit der Kante 4 cm und einer Pyramide darauf mit a = 4 cm und h = 3 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Würfel: 4 · 4 · 4 = 64 cm³. Pyramide: ein Drittel · 16 · 3.
Lösung ansehen
Lösung: 80
Die Pyramide hat 16 cm³. Zusammen sind das 64 + 16 = 80 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (r = 3 m, Höhe 10 m) und einem Kegel darauf (r = 3 m, Höhe 4 m). Berechne das Gesamtvolumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze m³.
Zeig mir den ersten Schritt
Zylinder: 3,14 · 9 · 10 = 282,6 m³.
Lösung ansehen
Lösung: 320
Kegel: ein Drittel · 3,14 · 9 · 4 = 37,68 m³. Zusammen sind es 320,28 m³, gerundet 320 m³.
Tipp: Zeichne den Körper und trenne die Teile mit einer Linie. Dann rechnest du Teil für Teil.
Merksatz: Zusammengesetzter Körper: Volumen = Summe der Teilvolumina. Bei der Oberfläche fallen die Berührflächen weg.
Typischer Fehler: Viele addieren die Oberflächen der Teile vollständig. Dann zählen sie die Fläche mit, an der die Teile zusammenstoßen. Diese Fläche liegt innen und gehört nicht zur Oberfläche.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Körper besteht aus einem Quader (10 cm × 6 cm × 4 cm) und einer Pyramide darauf. Die Pyramide hat die Grundfläche 10 cm × 6 cm und die Höhe 6 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Quader: 10 · 6 · 4 = 240 cm³. Pyramide: ein Drittel · 60 · 6.
Lösung ansehen
Lösung: 360
Die Pyramide hat 120 cm³. Zusammen sind das 240 + 120 = 360 cm³.
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Lösung: Die Berührfläche zählt nicht mehr dazu.
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Lösung: Stimmt
Frage 4 Eine Halbkugel hat den Radius 5 cm. Berechne ihr Volumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Das Volumen einer Halbkugel ist die Hälfte der Kugel: V = zwei Drittel · π · r³.
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Lösung: 262
r³ = 125. Dann 2 · 3,14 · 125 : 3 = 785 : 3 = 261,67. Gerundet sind das 262 cm³.
Frage 5 Ein Körper besteht aus einer Halbkugel (r = 3 cm) und einem Kegel (r = 3 cm, h = 4 cm). Berechne das Volumen mit π ≈ 3,14. Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Halbkugel: zwei Drittel · 3,14 · 27 = 56,52 cm³.
Lösung ansehen
Lösung: 94
Kegel: ein Drittel · 3,14 · 9 · 4 = 37,68 cm³. Zusammen sind das 94,2 cm³, gerundet 94 cm³.
Geschafft
Du zerlegst einen Körper in Teile und addierst ihre Volumina. Bei der Oberfläche lässt du die Berührflächen weg.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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