Das Prinzip von Cavalieri
Zwei Körper mit gleicher Höhe und gleich großen Schnittflächen in jeder Höhe haben gleiches Volumen. Damit begründest du Volumenformeln.
Das lernst du heute
- Ich erkläre das Prinzip von Cavalieri.
- Ich berechne das Volumen schiefer Körper.
- Ich begründe damit, dass Körper gleich viel fassen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Volumen eines Prismas, Die Kugel: Volumen und Oberfläche
Stell dir einen Stapel Münzen vor. Er steht gerade. Wenn du ihn seitlich schiebst, wird er schief. Es sind aber dieselben Münzen. Das Volumen ändert sich nicht. Das ist das Prinzip von Cavalieri. Es lautet: Zwei Körper stehen auf derselben Ebene. Sie haben dieselbe Höhe. In jeder Höhe sind ihre Schnittflächen gleich groß. Dann haben beide Körper dasselbe Volumen. Ein schiefes Prisma hat also V = G · h. Dabei ist h der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche, nicht die Länge der schrägen Kante. Auch Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben gleiches Volumen. Das gilt, auch wenn ihre Spitzen an verschiedenen Stellen liegen.
Schiefes Prisma
- Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche G = 25 cm².
- Die schräge Kante ist 8 cm lang. Der senkrechte Abstand der Flächen ist h = 6 cm.
- Es zählt nur h: V = G · h = 25 · 6 = 150.
- V = 150 cm³.
- Die Länge 8 cm der schrägen Kante wird nicht gebraucht.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Schiebe einen Stapel Münzen zur Seite.
Die Münzen bleiben gleich.
Also bleibt das Volumen gleich.
Ein Beispiel
Ein Kartenspiel liegt als gerader Stapel auf dem Tisch. Du schiebst die Karten schräg. Der Stapel ist schief, aber es sind dieselben Karten. Das Volumen ist gleich geblieben.
Schritt für Schritt
Der erste Schritt
- Prüfe, ob beide Körper gleich hoch sind.
- Prüfe, ob die Schnittflächen in jeder Höhe gleich groß sind.
- Wenn ja, haben beide dasselbe Volumen.
Mit einem Bild erklärt
| Körper | Grundfläche | senkrechte Höhe | Volumen |
|---|---|---|---|
| gerades Prisma | 25 cm² | 6 cm | 150 cm³ |
| schiefes Prisma | 25 cm² | 6 cm | 150 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Das Volumen eines Prismas – Du kennst V = G · h für gerade Prismen.
- Die Kugel: Volumen und Oberfläche – Du kennst die Kugelformel.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche 25 cm² und die senkrechte Höhe 6 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Es gilt V = G · h.
Lösung ansehen
Lösung: 150
25 · 6 = 150 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein schiefer Zylinder hat den Radius 5 cm und die senkrechte Höhe 4 cm. Die schräge Seitenlinie ist 6 cm lang. Berechne das Volumen mit π ≈ 3,14 in cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Die Länge 6 cm brauchst du nicht. Es zählt h = 4 cm.
Lösung ansehen
Lösung: 314
V = 3,14 · 25 · 4 = 314 cm³.
Tipp: Frage dich: Wie hoch ist der Körper senkrecht? Nur diese Länge zählt.
Merksatz: Cavalieri: Gleiche Höhe und gleiche Schnittflächen in jeder Höhe ergeben gleiches Volumen. Bei schiefen Körpern zählt die senkrechte Höhe.
Typischer Fehler: Viele rechnen beim schiefen Prisma mit der Länge der schrägen Kante. Das Ergebnis ist dann zu groß. Es zählt der senkrechte Abstand h.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Eine Pyramide hat die Grundfläche 30 cm² und die Höhe 9 cm. Eine zweite Pyramide hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Ihre Spitze liegt aber an einer anderen Stelle. Wie groß ist das Volumen der zweiten Pyramide in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Beide Pyramiden haben nach Cavalieri dasselbe Volumen.
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Lösung: 90
V = ein Drittel · 30 · 9 = 90 cm³.
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Lösung: gleiche Höhe und gleich große Schnittflächen in jeder Höhe
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: Beide haben dasselbe Volumen.
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Lösung: Das Volumen
Geschafft
Nach Cavalieri haben Körper mit gleicher Höhe und gleich großen Schnittflächen in jeder Höhe dasselbe Volumen. Deshalb gelten die Formeln für gerade Körper auch für schiefe Körper.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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