Eine Kathete berechnen
Kennst du die Hypotenuse und eine Kathete, berechnest du die andere Kathete mit b = √(c² − a²).
Das lernst du heute
- Ich stelle die Gleichung nach der Kathete um.
- Ich berechne eine fehlende Kathete.
- Ich unterscheide, wann ich plus und wann ich minus rechne.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Hypotenuse berechnen, Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Manchmal kennst du die Hypotenuse und eine Kathete. Dann suchst du die andere Kathete. Aus a² + b² = c² folgt b² = c² − a². Also ist b = √(c² − a²). Du ziehst das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab. Beispiel: c = 13 cm und a = 5 cm. Dann ist c² = 169 und a² = 25. Die Differenz ist 144. Die Wurzel ist b = √144 = 12 cm. Ein typisches Beispiel ist die Leiter. Sie ist 2,5 m lang. Ihr Fuß steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Die Leiter ist die Hypotenuse. Es gilt h² = 2,5² − 1,5² = 6,25 − 2,25 = 4. Also ist h = 2 m.
b aus c = 25 und a = 7 berechnen
- Gegeben: c = 25, a = 7.
- c² = 625 und a² = 49.
- b² = 625 − 49 = 576.
- b = √576 = 24.
- Probe: 24 ist kürzer als 25.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Hypotenuse quadrieren.
Bekannte Kathete quadrieren.
Subtrahieren, dann Wurzel ziehen.
Ein Beispiel
Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Leiter ist die Hypotenuse. Die Höhe an der Wand und der Abstand am Boden sind die Katheten. Wenn du die Leiterlänge und den Abstand zur Wand kennst, berechnest du die Höhe.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Höhe einer Leiter
- Die Leiter ist 5 m lang (Hypotenuse), der Fuß steht 3 m von der Wand entfernt.
- h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
- h = √16 = 4 m.
- Probe: 4 ist kürzer als 5.
Mit einem Bild erklärt
| Seite | Länge | Quadrat |
|---|---|---|
| Leiter (c) | 5 m | 25 |
| Abstand (a) | 3 m | 9 |
| Höhe (b) | 4 m | 16 = 25 − 9 |
Zur Grundlage zurück
- Die Hypotenuse berechnen – Die Hypotenuse hast du gerade berechnet. Jetzt ist eine Kathete gesucht.
- Quadratzahlen und Quadratwurzeln – Du ziehst die Wurzel aus Quadratzahlen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Die Hypotenuse ist 13 cm lang, eine Kathete 5 cm. Wie lang ist die andere Kathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 13² − 5².
Lösung ansehen
Lösung: 12
169 − 25 = 144 und √144 = 12.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Hypotenuse ist 10 cm lang, eine Kathete 8 cm. Wie lang ist die andere Kathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 10² − 8².
Lösung ansehen
Lösung: 6
100 − 64 = 36 und √36 = 6.
Tipp: Fehlende Hypotenuse: plus. Fehlende Kathete: minus. Frage dich zuerst: Welche Seite fehlt?
Merksatz: Hypotenuse: c = √(a² + b²). Kathete: b = √(c² − a²).
Typischer Fehler: Viele addieren auch hier und rechnen b = √(c² + a²). Dann ist die Kathete länger als die Hypotenuse. Das kann nicht stimmen. Die Hypotenuse ist die längste Seite.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Hypotenuse 10 cm, Kathete 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 10² − 6² = 100 − 36.
Lösung ansehen
Lösung: 8
√64 = 8.
Frage 2 Hypotenuse 17 cm, Kathete 8 cm. Wie lang ist die andere Kathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 17² − 8² = 289 − 64.
Lösung ansehen
Lösung: 15
√225 = 15.
Frage 3 Hypotenuse 25 cm, Kathete 24 cm. Wie lang ist die andere Kathete in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
b² = 25² − 24² = 625 − 576.
Lösung ansehen
Lösung: 7
√49 = 7.
Lösung ansehen
Lösung: 4 m
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du berechnest eine fehlende Kathete.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Der Satz des Pythagoras
Kurz erklärt, 42 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen