Die Hypotenuse berechnen
Kennst du beide Katheten, berechnest du die Hypotenuse mit c = √(a² + b²).
Das lernst du heute
- Ich berechne die Hypotenuse aus den Katheten.
- Ich runde ein Ergebnis sinnvoll.
- Ich prüfe, ob das Ergebnis möglich ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Satz an Quadraten sehen, Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Du kennst die beiden Katheten und suchst die Hypotenuse. Aus a² + b² = c² folgt c = √(a² + b²). Du rechnest in drei Schritten: Katheten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Beispiel: a = 9 cm und b = 12 cm. Dann ist a² = 81 und b² = 144. Die Summe ist 225. Die Wurzel ist c = √225 = 15 cm. Nicht immer ist das Ergebnis eine ganze Zahl. Bei a = 2 cm und b = 3 cm ist c² = 4 + 9 = 13. Dann ist c = √13 ≈ 3,61 cm, gerundet auf Hundertstel. Prüfe dein Ergebnis: Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete. Sie ist aber kürzer als die Summe der beiden Katheten.
c aus a = 7 und b = 24 berechnen
- Gegeben: a = 7, b = 24.
- a² = 49 und b² = 576.
- c² = 49 + 576 = 625.
- c = √625 = 25.
- Probe: 25 ist länger als 24 und kürzer als 7 + 24 = 31.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Katheten quadrieren.
Addieren.
Wurzel ziehen.
Ein Beispiel
Du gehst 9 m nach Osten und dann 12 m nach Norden. Der direkte Weg zurück ist die Hypotenuse. Er ist 15 m lang.
Schritt für Schritt
Wir berechnen c für a = 9 cm und b = 12 cm
- a² = 81.
- b² = 144.
- c² = 81 + 144 = 225.
- c = √225 = 15 cm.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| a quadrieren | 9² = 81 |
| b quadrieren | 12² = 144 |
| addieren | 81 + 144 = 225 |
| Wurzel ziehen | √225 = 15 |
Zur Grundlage zurück
- Der Satz an Quadraten sehen – Den Satz a² + b² = c² brauchst du hier.
- Quadratzahlen und Quadratwurzeln – Die Wurzel ziehst du schon aus Quadratzahlen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Die Katheten sind 9 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
c² = 9² + 12².
Lösung ansehen
Lösung: 15
81 + 144 = 225 und √225 = 15.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Katheten sind 8 cm und 15 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
c² = 8² + 15².
Lösung ansehen
Lösung: 17
64 + 225 = 289 und √289 = 17.
Tipp: Bevor du die Wurzel ziehst, prüfe: Ist c² die Summe der Quadrate? Das vermeidet Rechenfehler.
Merksatz: c = √(a² + b²). Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete und kürzer als a + b.
Typischer Fehler: Viele vergessen die Wurzel und schreiben c = 625. Das ist aber c². Die Länge ist c = √625 = 25. Andere rechnen c = a + b. Dann wäre die Hypotenuse zu lang.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Katheten 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
c² = 6² + 8² = 36 + 64.
Lösung ansehen
Lösung: 10
√100 = 10.
Frage 2 Katheten 20 cm und 21 cm. Wie lang ist die Hypotenuse in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
c² = 20² + 21² = 400 + 441.
Lösung ansehen
Lösung: 29
c² = 841 und √841 = 29, denn 29 · 29 = 841.
Lösung ansehen
Lösung: 3,61 cm
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 c² beträgt 169. Wie lang ist c?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe die Wurzel.
Lösung ansehen
Lösung: 13
13 · 13 = 169.
Geschafft
Du berechnest die Hypotenuse aus den Katheten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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