Ist das Dreieck rechtwinklig?
Der Satz gilt auch umgekehrt. Stimmt a² + b² = c², dann hat das Dreieck einen rechten Winkel.
Das lernst du heute
- Ich prüfe mit a² + b² = c², ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
- Ich setze die längste Seite für c ein.
- Ich nenne Beispiele für pythagoreische Zahlentripel.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Eine Kathete berechnen, Der Satz an Quadraten sehen
Der Satz des Pythagoras gilt auch umgekehrt. Wenn in einem Dreieck a² + b² = c² gilt, dann ist es rechtwinklig. Dabei ist c die längste Seite. Prüfe das Dreieck mit den Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm: Die längste Seite ist c = 13. Es gilt 5² + 12² = 25 + 144 = 169 und 13² = 169. Beide Seiten sind gleich, also ist das Dreieck rechtwinklig. Bei den Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm gilt 16 + 25 = 41, aber 6² = 36. Das ist nicht gleich. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Drei ganze Zahlen wie 3, 4, 5 oder 5, 12, 13, für die a² + b² = c² gilt, heißen pythagoreische Zahlentripel. Handwerker nutzen diese Idee, um rechte Winkel zu markieren. Sie teilen eine Schnur mit Knoten in 12 gleiche Abschnitte. Legen sie daraus ein Dreieck mit 3, 4 und 5 Abschnitten, entsteht ein rechter Winkel.
| Seiten | a² + b² | c² | rechtwinklig? |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 | 25 | ja |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 | 169 | ja |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 | 625 | ja |
| 4, 5, 6 | 16 + 25 = 41 | 36 | nein |
Seiten 8, 15 und 17 prüfen
- Die längste Seite ist c = 17.
- a² + b² = 64 + 225 = 289.
- c² = 289.
- Beide Werte sind gleich. Das Dreieck ist rechtwinklig.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Längste Seite ist c.
Rechne a² + b².
Rechne c². Sind beide gleich?
Ein Beispiel
Ein Tischler prüft eine Ecke. Er misst 60 cm an der einen Seite und 80 cm an der anderen. Quer über die Ecke misst er 100 cm. Weil 60² + 80² = 100² gilt, ist die Ecke rechtwinklig.
Schritt für Schritt
Wir prüfen die Seiten 4 cm, 5 cm und 6 cm
- Die längste Seite ist c = 6.
- a² + b² = 16 + 25 = 41.
- c² = 36.
- 41 ist nicht 36. Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Mit einem Bild erklärt
| Seiten | a² + b² | c² | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 4, 5, 6 | 41 | 36 | nicht rechtwinklig |
| 5, 12, 13 | 169 | 169 | rechtwinklig |
Zur Grundlage zurück
- Eine Kathete berechnen – Du kennst die Rechnungen mit dem Satz.
- Der Satz an Quadraten sehen – Die Gleichung a² + b² = c² brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Tipp: Setze immer die längste Seite für c ein. Berechne dann beide Seiten der Gleichung getrennt.
Merksatz: Gilt a² + b² = c² mit c als längster Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt es nicht, ist es nicht rechtwinklig.
Typischer Fehler: Viele nehmen für c nicht die längste Seite. Dann stimmt die Rechnung auch bei einem rechtwinkligen Dreieck nicht. Die längste Seite ist immer c.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 7, 24, 25
Frage 2 Ein Dreieck hat die Seiten 9, 12 und 15. Wie groß ist c²?
Zeig mir den ersten Schritt
c ist die längste Seite.
Lösung ansehen
Lösung: 225
15² = 225.
Lösung ansehen
Lösung: Nicht rechtwinklig, denn 25 + 36 = 61 und 8² = 64.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du prüfst mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Der Satz des Pythagoras
Kurz erklärt, 42 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen