Rein quadratische Gleichungen
Gleichungen mit x², aber ohne x allein, löst du mit der Wurzel. Du erhältst oft zwei Lösungen.
Das lernst du heute
- Ich löse Gleichungen der Form a · x² + c = 0.
- Ich gebe beide Lösungen an.
- Ich erkenne Gleichungen ohne Lösung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Schritt für Schritt umformen
Manche Gleichungen enthalten nur x² und eine Zahl. Ein einzelnes x kommt nicht vor. Sie heißen rein quadratisch. Beispiel: x² = 9.
Welche Zahlen ergeben quadriert 9? Das sind 3 und −3, denn 3² = 9 und (−3)² = 9. Die Lösungsmenge ist L = {−3; 3}. Dieses Rückwärtsrechnen heißt Wurzel ziehen.
Bei 2x² − 50 = 0 formst du zuerst um, bis x² allein steht: 2x² = 50, dann x² = 25. Die Lösungen sind 5 und −5.
Eine Quadratzahl ist nie negativ. Darum hat x² = −4 keine Lösung. Man schreibt L = { }.
| Gleichung | Umgeformt | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| x² = 16 | x² = 16 | L = {−4; 4} |
| 3x² − 12 = 0 | x² = 4 | L = {−2; 2} |
| x² + 9 = 0 | x² = −9 | L = { } |
| x² = 0 | x² = 0 | L = {0} |
2x² − 50 = 0 lösen
- 2x² − 50 = 0 | + 50
- 2x² = 50 | : 2
- x² = 25 | Wurzel ziehen
- x = 5 oder x = −5
- Probe: 2 · 5² − 50 = 0 und 2 · (−5)² − 50 = 0. Beides stimmt.
- L = {−5; 5}
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
x² allein stellen.
Wurzel ziehen.
Zwei Lösungen aufschreiben: plus und minus.
Ein Beispiel
Ein Quadrat hat die Fläche 36 m². Die Seitenlänge ist 6 m. In der Gleichung x² = 36 gehört aber auch −6 dazu. Eine Länge kann nicht negativ sein, darum zählt hier nur 6.
Schritt für Schritt
Wir lösen 3x² − 12 = 0
- 3x² − 12 = 0 | + 12
- 3x² = 12 | : 3
- x² = 4
- x = 2 oder x = −2
- L = {−2; 2}
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Gleichung |
|---|---|
| Start | 3x² − 12 = 0 |
| + 12 | 3x² = 12 |
| : 3 | x² = 4 |
| Wurzel | x = 2 oder x = −2 |
Zur Grundlage zurück
- Schritt für Schritt umformen – Das Umformen nach x² geht wie bei einer linearen Gleichung.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse x² = 49. Wie lautet die positive Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Zahl mal sich selbst ergibt 49?
Lösung ansehen
Lösung: 7
7 · 7 = 49. Auch −7 ist eine Lösung.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 3x² = 75. Wie lautet die positive Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile durch 3.
Lösung ansehen
Lösung: 5
x² = 25, also x = 5 oder x = −5.
Tipp: Mache die Probe mit beiden Werten. Das Quadrat versteckt das Vorzeichen.
Merksatz: x² = c mit c > 0: zwei Lösungen x = √c und x = −√c. c = 0: eine Lösung. c < 0: keine Lösung.
Typischer Fehler: Viele geben nur die positive Lösung an. Aber auch die negative Zahl ergibt quadriert den gleichen Wert. Es gibt zwei Lösungen.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: zwei
Frage 2 Löse x² − 16 = 0. Wie lautet die positive Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere 16 auf beiden Seiten.
Lösung ansehen
Lösung: 4
x² = 16, also x = 4 oder x = −4.
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Lösung: Es gibt keine Lösung.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Bei rein quadratischen Gleichungen stellst du nach x² um und ziehst die Wurzel. Nenne dabei beide Lösungen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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