Streckzentrum und Streckfaktor finden
Ist das Bild gegeben, findest du das Streckzentrum als Schnittpunkt von Geraden und den Streckfaktor aus zwei Längen.
Das lernst du heute
- Ich finde das Streckzentrum mit Geraden durch Punkt und Bildpunkt.
- Ich bestimme den Streckfaktor aus Original und Bild.
- Ich erkenne, ob k größer oder kleiner als 1 ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die zentrische Streckung konstruieren
Manchmal sind Figur und Bild gegeben, und du suchst Z und k. Das Streckzentrum findest du so: Zeichne durch jeden Punkt und seinen Bildpunkt eine Gerade, also durch P und P' und durch Q und Q'. Alle diese Geraden schneiden sich in Z. Zwei Geraden reichen. Den Streckfaktor berechnest du aus Längen: k = ZP' : ZP oder k = P'Q' : PQ. Beispiel: Original P(3|2) und Q(3|3), Bild P'(5|3) und Q'(5|5). Die Gerade durch P und P' geht durch (3|2) und (5|3). Die Gerade durch Q und Q' geht durch (3|3) und (5|5). Sie schneiden sich in Z(1|1). Die Strecke PQ ist 1 Einheit lang, die Strecke P'Q' ist 2 Einheiten lang. Also ist k = 2 : 1 = 2. Liegt der Bildpunkt näher am Zentrum als der Originalpunkt, ist k kleiner als 1. Dann wurde verkleinert.
Z und k finden
- Gegeben: P(2|1), Q(4|1), Bild P'(4|2), Q'(8|2).
- Gerade durch P und P': y = 0,5x.
- Gerade durch Q und Q': y = 0,25x.
- Beide schneiden sich im Ursprung: Z(0|0).
- Länge PQ = 2, Länge P'Q' = 4. Also k = 4 : 2 = 2.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gerade durch P und P'.
Gerade durch Q und Q'.
Schnittpunkt ist Z.
Ein Beispiel
Eine Lampe wirft den Schatten eines Gegenstands vergrößert an die Wand. Die Lampe ist das Streckzentrum. Jede Gerade durch einen Punkt des Gegenstands und den passenden Punkt des Schattens läuft durch die Lampe.
Schritt für Schritt
Wir finden k bei P(2|3) und P'(6|9), Z im Ursprung
- Z ist der Ursprung.
- Vergleiche die x-Werte: 6 : 2 = 3.
- Vergleiche die y-Werte: 9 : 3 = 3.
- Beide Male 3. Also ist k = 3.
Mit einem Bild erklärt
| x | y | |
|---|---|---|
| P | 2 | 3 |
| P' | 6 | 9 |
| Verhältnis | 6 : 2 = 3 | 9 : 3 = 3 |
Zur Grundlage zurück
- Die zentrische Streckung konstruieren – Die Konstruktion der Streckung kehrst du hier um.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Die Strecke PQ ist 3 cm lang, die Bildstrecke P'Q' ist 12 cm lang. Wie groß ist k?
Zeig mir den ersten Schritt
k = Bildlänge : Originallänge.
Lösung ansehen
Lösung: 4
12 : 3 = 4.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Z liegt im Ursprung. P(2|3) hat das Bild P'(6|9). Wie groß ist k?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile den x-Wert von P' durch den x-Wert von P.
Lösung ansehen
Lösung: 3
6 : 2 = 3.
Tipp: Prüfe zum Schluss: Ist ZP' wirklich k-mal so lang wie ZP? Das muss für jeden Punkt gelten.
Merksatz: Z: Schnittpunkt der Geraden durch Punkt und Bildpunkt. k = Bildlänge : Originallänge.
Typischer Fehler: Viele verbinden P mit Q statt P mit P'. Das Streckzentrum liegt auf den Geraden durch den Originalpunkt und seinen eigenen Bildpunkt.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Eine Strecke PQ ist 2 cm lang, ihr Bild ist 6 cm lang. Wie groß ist k?
Zeig mir den ersten Schritt
k = Bildlänge : Originallänge = 6 : 2.
Lösung ansehen
Lösung: 3
k = 3.
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Lösung: Als Schnittpunkt der Geraden durch Punkt und Bildpunkt.
Frage 3 Wie viele Geraden durch Punkt und Bildpunkt brauchst du mindestens, um Z als Schnittpunkt zu finden?
Zeig mir den ersten Schritt
Eine Gerade allein ergibt noch keinen Punkt.
Lösung ansehen
Lösung: 2
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt.
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Lösung: k ist kleiner als 1.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du findest Streckzentrum und Streckfaktor aus gegebenen Figuren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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