Längen mit Ähnlichkeit berechnen
In ähnlichen Figuren stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. Damit berechnest du unbekannte Längen.
Das lernst du heute
- Ich ordne entsprechende Seiten zu.
- Ich berechne k und damit fehlende Seiten.
- Ich löse eine Aufgabe mit einer Verhältnisgleichung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Ähnliche Figuren erkennen, Der Streckfaktor
In ähnlichen Figuren stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. Damit berechnest du unbekannte Längen. Beispiel: Dreieck 1 hat die Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 8 cm. Das ähnliche Dreieck 2 hat die Seite a' = 6 cm. Der Streckfaktor ist k = 6 : 4 = 1,5. Dann ist b' = 1,5 · 6 = 9 cm und c' = 1,5 · 8 = 12 cm. Du kannst auch eine Verhältnisgleichung aufstellen: b' : 6 = 6 : 4. Daraus folgt b' = 6 · 6 : 4 = 9. So gehst du vor: Erstens ordnest du entsprechende Seiten zu. Zweitens wählst du ein Seitenpaar mit zwei bekannten Längen und berechnest k. Drittens berechnest du die gesuchte Seite mit k. Viertens prüfst du, ob das Ergebnis passt: Bei k größer als 1 muss die neue Seite länger sein.
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| Dreieck 1 | 4 cm | 6 cm | 8 cm |
| Dreieck 2 | 6 cm | 9 cm | 12 cm |
| Verhältnis | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
Fehlende Seiten berechnen
- Dreieck 1: 4 cm, 6 cm, 8 cm. Dreieck 2: a' = 6 cm.
- k = 6 : 4 = 1,5.
- b' = 1,5 · 6 = 9 cm.
- c' = 1,5 · 8 = 12 cm.
- Probe: 9 : 6 = 1,5 und 12 : 8 = 1,5.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Bekanntes Seitenpaar suchen.
k ausrechnen.
Gesuchte Seite mal k.
Ein Beispiel
Ein Modellhaus ist 20 cm hoch und 30 cm breit. Das echte Haus ist 6 m hoch. Es ist 30-mal so hoch wie das Modell (600 cm : 20 cm). Also ist es auch 30-mal so breit: 900 cm, also 9 m.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Breite eines Rechtecks
- Rechteck 1: 6 cm × 4 cm. Rechteck 2 ist ähnlich und 9 cm lang.
- k = 9 : 6 = 1,5.
- Breite: 1,5 · 4 = 6 cm.
- Probe: 9 : 6 = 6 : 4 = 1,5.
Mit einem Bild erklärt
| Länge | Breite | |
|---|---|---|
| Rechteck 1 | 6 cm | 4 cm |
| Rechteck 2 | 9 cm | 6 cm |
| Verhältnis | 1,5 | 1,5 |
Zur Grundlage zurück
- Ähnliche Figuren erkennen – Du erkennst ähnliche Figuren und ihre Verhältnisse.
- Der Streckfaktor – Mit k berechnest du die fehlenden Längen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zwei ähnliche Dreiecke: Das erste hat die Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und c = 8 cm. Das zweite hat die Seite a' = 6 cm, die zu a = 4 cm gehört. Wie lang ist b' in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 6 : 4 = 1,5. Dann b' = 1,5 · 6.
Lösung ansehen
Lösung: 9
1,5 · 6 = 9.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. Ein ähnliches Rechteck ist 9 cm lang. Wie breit ist es in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 9 : 6.
Lösung ansehen
Lösung: 6
k = 1,5 und 1,5 · 4 = 6.
Tipp: Schreibe die Zuordnung auf, bevor du rechnest: Welche Seite gehört zu welcher? Dann kannst du nichts verwechseln.
Merksatz: Ähnliche Figuren: Bildlänge = k · Originallänge. k bekommst du aus einem Seitenpaar mit zwei bekannten Längen.
Typischer Fehler: Viele rechnen mit Unterschieden: 6 − 4 = 2, also b' = 6 + 2 = 8. Das stimmt nicht. Bei Ähnlichkeit zählt das Verhältnis, nicht der Unterschied. Richtig ist b' = 1,5 · 6 = 9.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm. Ein ähnliches Dreieck hat als kürzeste Seite 9 cm. Wie lang ist seine mittlere Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 9 : 3 = 3.
Lösung ansehen
Lösung: 12
3 · 4 = 12.
Frage 2 Dasselbe Dreieck: Wie lang ist die längste Seite des ähnlichen Dreiecks in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 3.
Lösung ansehen
Lösung: 15
3 · 5 = 15.
Lösung ansehen
Lösung: 20 cm
Frage 4 Ein Modellhaus ist 20 cm hoch und 30 cm breit. Das echte Haus ist 6 m hoch. Wie breit ist es in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
6 m = 600 cm. k = 600 : 20.
Lösung ansehen
Lösung: 9
k = 30 und 30 · 30 cm = 900 cm = 9 m.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du berechnest fehlende Längen in ähnlichen Figuren.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Ähnlichkeit und zentrische Streckung
Kurz erklärt, 43 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen