Die zentrische Streckung konstruieren
Bei der zentrischen Streckung wird jeder Punkt von einem festen Punkt Z aus gestreckt. Du konstruierst das Bild mit Strahlen oder mit Koordinaten.
Das lernst du heute
- Ich erkläre Streckzentrum und Streckfaktor.
- Ich konstruiere das Bild eines Punktes.
- Ich strecke Figuren im Koordinatensystem.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Streckfaktor, Abbildungen im Koordinatensystem
Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur von einem festen Punkt aus. Dieser Punkt heißt Streckzentrum Z. Der Streckfaktor k sagt, wie stark gestreckt wird. So findest du das Bild eines Punktes P: Zeichne einen Strahl von Z durch P. Der Bildpunkt P' liegt auf diesem Strahl. Für den Abstand gilt ZP' = k · ZP. Für k = 2 und ZP = 3 cm ist ZP' = 6 cm. Mache das für jede Ecke und verbinde die Bildpunkte. Im Koordinatensystem mit Z im Ursprung (0|0) gilt: P(x|y) wird zu P'(k · x|k · y). Beispiel: P(2|1) wird mit k = 3 zu P'(6|3). Das Dreieck mit A(1|1), B(3|1) und C(2|3) wird mit k = 2 zu A'(2|2), B'(6|2) und C'(4|6). Das Bild ist ähnlich zum Original. Die Seiten sind doppelt so lang, die Winkel bleiben gleich. Liegt Z nicht im Ursprung, gehst du von Z zu P und nimmst diesen Weg mal k. Beispiel: Z(1|1), P(3|2), k = 2. Der Weg von Z zu P ist 2 nach rechts und 1 nach oben. Verdoppelt: 4 nach rechts und 2 nach oben. Also P'(5|3).
Punkt strecken mit Z = (0|0) und k = 3
- Gegeben: P(2|1), k = 3, Z im Ursprung.
- x-Wert: 3 · 2 = 6.
- y-Wert: 3 · 1 = 3.
- Bildpunkt: P'(6|3).
- Probe: P' liegt auf dem Strahl von Z durch P, denn 6 : 2 = 3 : 1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Z festlegen.
Strahl von Z durch P.
Abstand mit k malnehmen.
Ein Beispiel
Ein Diaprojektor wirft ein Bild vergrößert an die Wand. Die Lichtstrahlen laufen von einem Punkt aus. So entsteht eine zentrische Streckung.
Schritt für Schritt
Wir strecken P(3|2) mit Z(1|1) und k = 2
- Weg von Z zu P: 3 − 1 = 2 nach rechts, 2 − 1 = 1 nach oben.
- Mit k = 2 verdoppeln: 4 nach rechts, 2 nach oben.
- Von Z aus: 1 + 4 = 5 und 1 + 2 = 3.
- Bildpunkt: P'(5|3).
Mit einem Bild erklärt
| x | y | |
|---|---|---|
| Z | 1 | 1 |
| P | 3 | 2 |
| Weg Z zu P | 2 | 1 |
| Weg mal 2 | 4 | 2 |
| P' | 5 | 3 |
Zur Grundlage zurück
- Der Streckfaktor – Den Streckfaktor brauchst du bei jeder Streckung.
- Abbildungen im Koordinatensystem – Abbildungen im Koordinatensystem kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Z liegt im Ursprung. Der Punkt P(2|1) wird mit k = 3 gestreckt. Welchen x-Wert hat P'?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere den x-Wert mit k.
Lösung ansehen
Lösung: 6
3 · 2 = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Z liegt im Ursprung. Der Punkt C(2|3) wird mit k = 2 gestreckt. Welchen y-Wert hat C'?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere den y-Wert mit k.
Lösung ansehen
Lösung: 6
2 · 3 = 6.
Tipp: Verbinde Z mit jeder Ecke der Figur. Alle Bildpunkte liegen auf diesen Strahlen.
Merksatz: Zentrische Streckung: Z bleibt fest. P' liegt auf dem Strahl ZP mit ZP' = k · ZP. Das Bild ist ähnlich, die Winkel bleiben gleich, die Längen werden mit k malgenommen.
Typischer Fehler: Viele messen die Länge von P aus statt von Z aus. Der Abstand wird immer vom Streckzentrum aus mit k malgenommen. Ein zweiter Fehler: Z liegt nicht im Ursprung, und jemand nimmt einfach die Koordinaten von P mal k. Dann liegt P' falsch.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Z liegt im Ursprung. P(2|1) wird mit k = 3 gestreckt. Welchen y-Wert hat P'?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere den y-Wert mit k: 3 · 1.
Lösung ansehen
Lösung: 3
3 · 1 = 3.
Frage 2 Z liegt im Ursprung. B(3|1) wird mit k = 2 gestreckt. Welchen x-Wert hat B'?
Zeig mir den ersten Schritt
Multipliziere den x-Wert mit k: 2 · 3.
Lösung ansehen
Lösung: 6
2 · 3 = 6.
Lösung ansehen
Lösung: (5|3)
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Du konstruierst das Bild einer Figur bei einer zentrischen Streckung.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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