Die Höhen im Dreieck
Du konstruierst Höhen, findest den Höhenschnittpunkt und überblickst die vier besonderen Punkte.
Das lernst du heute
- Ich konstruiere die Höhen eines Dreiecks.
- Ich nenne die Lage des Höhenschnittpunkts bei spitz-, recht- und stumpfwinkligen Dreiecken.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Umkreis eines Dreiecks, Senkrecht: der rechte Winkel
Die Höhe h_c eines Dreiecks ist die Strecke von der Ecke C senkrecht auf die Gerade AB. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt H im Innern. Bei einem rechtwinkligen liegt H in der Ecke des rechten Winkels. Bei einem stumpfwinkligen liegt H außerhalb. Dann musst du die Seiten verlängern. Beispiel: A(0|0), B(6|0), C(3|6). Die Höhe h_c liegt auf der Geraden x = 3. H liegt bei (3|1,5). Konstruktion der Höhe: 1. Zeichne um C einen Kreisbogen, der die Gerade AB in zwei Punkten schneidet. 2. Konstruiere die Mittelsenkrechte dieser beiden Punkte. Sie geht durch C und steht senkrecht auf AB. Mit dem Geodreieck legst du die Mittellinie an AB an und ziehst das Lot durch C.
Höhe auf die Hypotenuse
- Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm und die Hypotenuse 10 cm. Wie lang ist die Höhe auf die Hypotenuse?
- Fläche: 6 · 8 : 2 = 24 cm².
- Die Fläche kann man auch mit der Hypotenuse berechnen: 10 · h : 2 = 24.
- h = 24 · 2 : 10 = 4,8 cm.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Höhe: senkrecht von der Ecke zur Gegenseite.
Drei Höhen, ein Schnittpunkt.
Rechtwinklig: H in der Ecke mit 90°.
Ein Beispiel
Du hängst ein Lot an eine Ecke eines Dreiecks aus Pappe. Das Lot zeigt senkrecht nach unten. So zeichnest du die Höhe auf die waagerechte Seite.
Schritt für Schritt
Höhe konstruieren
- Wähle eine Ecke und die Gegenseite.
- Zeichne einen Kreisbogen um die Ecke, der die Gegenseite zweimal schneidet.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte der beiden Schnittpunkte.
- Sie ist die Höhe durch die Ecke.
Mit einem Bild erklärt
| Dreieck | Lage von H |
|---|---|
| spitzwinklig | im Innern |
| rechtwinklig | Ecke mit dem rechten Winkel |
| stumpfwinklig | außerhalb |
Zur Grundlage zurück
- Der Umkreis eines Dreiecks – Mittelsenkrechte und Umkreis kennst du schon.
- Senkrecht: der rechte Winkel – Senkrechte hast du schon gezeichnet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Dreieck hat die Fläche 24 cm² und eine Seite von 8 cm. Wie hoch ist die Höhe auf diese Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Fläche = Seite · Höhe : 2. Stelle um.
Lösung ansehen
Lösung: 6
h = 24 · 2 : 8 = 6 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Dreieck hat die Fläche 30 cm² und eine Seite von 12 cm. Wie hoch ist die Höhe auf diese Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
h = 2 · Fläche : Seite.
Lösung ansehen
Lösung: 5
h = 30 · 2 : 12 = 5 cm.
Tipp: Zeichne eine Höhe von jeder Ecke und prüfe, ob sich alle drei in einem Punkt treffen. In einer Geometriesoftware kannst du an einer Ecke ziehen: Der Höhenschnittpunkt wandert und liegt je nach Dreieck innen, in der Ecke oder außerhalb. Die Fläche kannst du mit jeder Seite und ihrer Höhe berechnen: A = Seite · Höhe : 2.
Merksatz: Höhe: Lot von einer Ecke auf die Gegenseite (oder ihre Verlängerung). Die drei Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt H. Fläche A = g · h : 2 mit jeder Seite g.
Typischer Fehler: Viele verwechseln Höhe und Seitenhalbierende. Die Höhe steht senkrecht auf der Gegenseite, die Seitenhalbierende geht zur Mitte der Gegenseite. Im stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe teilweise außerhalb.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Seiten sind selbst Höhen?
Lösung ansehen
Lösung: In der Ecke mit dem rechten Winkel
Frage 2 Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Höhe auf die Hypotenuse in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Fläche: 6 · 8 : 2 = 24. Hypotenuse: 10.
Lösung ansehen
Lösung: 4,8
h = 24 · 2 : 10 = 4,8 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
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Lösung: Seitenhalbierende
Geschafft
Die Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die Gegenseite. Die drei Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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