Der Umkreis eines Dreiecks
Du findest den Mittelpunkt des Umkreises mit den Mittelsenkrechten und erkennst Sonderfälle.
Das lernst du heute
- Ich konstruiere den Umkreis eines Dreiecks.
- Ich sage, wo der Umkreismittelpunkt bei spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecken liegt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Mittelsenkrechte konstruieren, Der Satz des Thales
Zeichne die Mittelsenkrechten der drei Seiten eines Dreiecks ABC. Sie schneiden sich in genau einem Punkt M. Dieser Punkt hat von A, B und C denselben Abstand. Der Kreis um M mit diesem Abstand R geht durch alle drei Ecken. Er heißt Umkreis, R ist der Umkreisradius. Zwei Mittelsenkrechte genügen für die Konstruktion. Die dritte dient der Kontrolle. Beispiel: A(0|0), B(6|0), C(0|8). Bei A ist ein rechter Winkel. Die Seite BC gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse, sie ist 10 lang. Der Mittelpunkt M liegt bei (3|4), das ist die Mitte von BC. Alle Abstände sind 5: MA = MB = MC = 5. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt M immer in der Mitte der Hypotenuse. Das folgt aus dem Satz des Thales. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt M im Innern, bei einem stumpfwinkligen außerhalb.
Umkreisradius im rechtwinkligen Dreieck
- Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises und wie groß ist R?
- Der rechte Winkel liegt zwischen den Seiten 6 cm und 8 cm. Die längste Seite (10 cm) liegt ihm gegenüber. Sie heißt Hypotenuse.
- Der Mittelpunkt liegt in der Mitte der Hypotenuse.
- R ist die halbe Hypotenuse: R = 10 : 2 = 5 cm.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Drei Mittelsenkrechte schneiden sich in einem Punkt.
Der Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Der Kreis geht durch die Ecken.
Ein Beispiel
Drei Orte A, B und C sollen einen gemeinsamen Funkmast bekommen, der von allen gleich weit entfernt ist. Der Mast steht im Mittelpunkt des Umkreises.
Schritt für Schritt
Umkreis konstruieren
- Zeichne das Dreieck.
- Konstruiere die Mittelsenkrechten von zwei Seiten.
- Der Schnittpunkt ist M.
- Zeichne den Kreis um M durch eine Ecke.
Mit einem Bild erklärt
| Dreieck | Lage von M |
|---|---|
| spitzwinklig | im Innern |
| rechtwinklig | Mitte der Hypotenuse |
| stumpfwinklig | außerhalb |
Zur Grundlage zurück
- Die Mittelsenkrechte konstruieren – Die Mittelsenkrechte brauchst du für den Umkreis.
- Der Satz des Thales – Der Satz des Thales erklärt den rechtwinkligen Fall.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist der Umkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
M liegt in der Mitte der Hypotenuse.
Lösung ansehen
Lösung: 5
R = 10 : 2 = 5 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Wie groß ist der Umkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Die längste Seite ist die Hypotenuse.
Lösung ansehen
Lösung: 6,5
R = 13 : 2 = 6,5 cm.
Tipp: Du brauchst nur zwei Mittelsenkrechte. Zeichne trotzdem die dritte: Geht sie ebenfalls durch M, hast du genau gearbeitet. In einer Geometriesoftware kannst du an einer Ecke ziehen und beobachten, wie M wandert.
Merksatz: Umkreis: Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt M. Der Kreis um M durch A geht auch durch B und C. Rechtwinklig: M in der Mitte der Hypotenuse.
Typischer Fehler: Viele verwechseln die Mittelsenkrechte mit der Seitenhalbierenden. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Seite und geht nicht durch die gegenüberliegende Ecke.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Denke an die drei Dreiecksarten.
Lösung ansehen
Lösung: Außerhalb des Dreiecks
Lösung ansehen
Lösung: In der Mitte der Hypotenuse
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 4 Ein Dreieck hat den Umkreisradius 4 cm. Wie weit ist der Mittelpunkt von der Ecke B entfernt (in cm)?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Umkreis geht durch alle drei Ecken.
Lösung ansehen
Lösung: 4
Alle Ecken haben von M den Abstand R = 4 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Sie steht senkrecht auf der Seite und muss nicht durch die Gegenecke gehen.
Geschafft
Der Umkreis geht durch alle drei Ecken. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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