Der Satz des Thales
Liegt die Ecke C eines Dreiecks auf einem Halbkreis über AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Du begründest das mit der Winkelsumme.
Das lernst du heute
- Ich kenne den Satz des Thales.
- Ich kann ihn mit gleichschenkligen Dreiecken und der Winkelsumme begründen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Kreis und Kreismuster, Winkel in Figuren berechnen
Zeichne eine Strecke AB und ihren Mittelpunkt M. Zeichne um M einen Kreis durch A und B. Die Hälfte davon heißt Thaleskreis (Halbkreis über AB). Wähle einen Punkt C auf dem Halbkreis und zeichne das Dreieck ABC. Dann gilt immer: Der Winkel bei C ist 90°. Das ist der Satz des Thales. Begründung: Verbinde M mit C. MA, MB und MC sind Radien, also gleich lang. Darum sind die Dreiecke AMC und MBC gleichschenklig. Im Dreieck AMC sind die Basiswinkel gleich: Bei A und bei C liegt jeweils α. Im Dreieck MBC liegt bei B und bei C jeweils β. Der Winkel bei C ist also α + β. Im Dreieck ABC gilt: α + β + (α + β) = 180°. Also 2 · (α + β) = 180° und α + β = 90°.
Die Begründung in Schritten
- MA = MB = MC, weil alle drei Radien des Kreises sind.
- Dreieck AMC ist gleichschenklig: Die Winkel bei A und C sind gleich, beide α.
- Dreieck MBC ist gleichschenklig: Die Winkel bei B und C sind gleich, beide β.
- Winkelsumme im Dreieck ABC: α + β + (α + β) = 180°.
- 2 · (α + β) = 180°, also α + β = 90°. Der Winkel bei C ist ein rechter Winkel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zeichne einen Halbkreis über AB.
Setze C irgendwo auf den Halbkreis.
Der Winkel bei C ist immer 90°.
Ein Beispiel
Du hast einen runden Tisch und legst ein Geodreieck mit dem rechten Winkel auf den Rand. Die zwei Kanten treffen den Rand an zwei Punkten. Diese Punkte liegen sich genau gegenüber: Ihre Verbindung geht durch die Mitte.
Schritt für Schritt
Einen Winkel im Thalesdreieck berechnen
- C liegt auf dem Halbkreis über AB. Also ist der Winkel bei C 90°.
- Gegeben ist α = 35°.
- Winkelsumme: β = 180° − 90° − 35°.
- β = 55°.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Aussage | Grund |
|---|---|---|
| 1 | MA = MB = MC | Radien |
| 2 | Winkel bei A und C im Dreieck AMC: α | Basiswinkel |
| 3 | Winkel bei B und C im Dreieck MBC: β | Basiswinkel |
| 4 | 2 · (α + β) = 180° | Winkelsumme |
| 5 | Winkel bei C: α + β = 90° | halbieren |
Zur Grundlage zurück
- Der Kreis und Kreismuster – Kreis, Mittelpunkt und Radius kennst du schon.
- Winkel in Figuren berechnen – Basiswinkel brauchst du für die Begründung.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
C liegt auf dem Halbkreis über AB. Bei A ist der Winkel 35°. Wie groß ist der Winkel bei B?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Winkel bei C ist 90°.
Lösung ansehen
Lösung: 55
180° − 90° − 35° = 55°.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
C liegt auf dem Halbkreis über AB. Bei B ist der Winkel 62°. Wie groß ist der Winkel bei A?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Winkel bei C ist 90°.
Lösung ansehen
Lösung: 28
180° − 90° − 62° = 28°.
Tipp: Mit dem Thaleskreis kannst du rechte Winkel ohne Geodreieck zeichnen: Halbkreis über einer Strecke, Punkt darauf wählen, fertig.
Merksatz: Satz des Thales: Liegt C auf dem Halbkreis über AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter Winkel.
Typischer Fehler: Viele meinen, der Winkel bei A oder B sei der rechte Winkel. Der rechte Winkel liegt immer bei C, also auf dem Halbkreis, gegenüber der Strecke AB.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: MA, MB und MC sind Radien desselben Kreises
Frage 2 C liegt auf dem Halbkreis über AB. Wie groß ist der Winkel bei C?
Zeig mir den ersten Schritt
Denke an den Satz des Thales.
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Lösung: 90
Der Winkel bei C ist ein rechter Winkel: 90°.
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Im Dreieck AMC ist der Winkel bei A 35°. Wie groß ist der Winkel bei M in diesem Dreieck?
Zeig mir den ersten Schritt
Das Dreieck AMC ist gleichschenklig. Bei C liegt auch 35°.
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Lösung: 110
35° + 35° = 70°. 180° − 70° = 110°.
Geschafft
Jedes Dreieck, dessen Ecke C auf dem Halbkreis über AB liegt, hat bei C einen rechten Winkel. Begründet wird das mit zwei gleichschenkligen Dreiecken und der Winkelsumme 180°.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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