Eindeutig, mehrdeutig oder unmöglich?
Nicht jede Angabe führt zu genau einem Dreieck. Manchmal gibt es zwei Dreiecke, manchmal keins. Du begründest, was gilt.
Das lernst du heute
- Ich kann entscheiden, ob eine Dreieckskonstruktion lösbar ist.
- Ich kann sagen, wann es genau ein, zwei oder kein Dreieck gibt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Dreieck aus drei Seiten, Eine Seite und zwei Winkel
Bei jeder Konstruktion fragst du: Gibt es kein, genau ein oder mehrere Dreiecke? Drei Seiten: genau ein Dreieck, wenn die Dreiecksungleichung gilt, sonst keines. Seite, Winkel, Seite (Winkel dazwischen): immer genau ein Dreieck. Seite und zwei Winkel: genau ein Dreieck, wenn die Winkel zusammen kleiner als 180° sind, sonst keines. Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischen liegt, kann zwei Lösungen haben. Beispiel: α = 30° und b = 8 cm, a ist gegeben. C hat von der Geraden AB den Abstand 4 cm. Der Kreisbogen um C mit Radius a schneidet den Schenkel: bei a = 3 cm gar nicht, bei a = 4 cm einmal, bei a = 5 cm zweimal.
Wie viele Dreiecke gibt es?
- Fall 1: a = 3 cm, b = 8 cm, α = 30°. C hat 4 cm Abstand zu AB. 3 cm reichen nicht. Kein Dreieck.
- Fall 2: a = 4 cm. Der Bogen berührt den Schenkel genau einmal. Ein Dreieck.
- Fall 3: a = 5 cm. Der Bogen schneidet den Schenkel zweimal. Zwei Dreiecke.
- Fall 4: a = 9 cm. Nur ein Schnittpunkt liegt auf dem Schenkel. Ein Dreieck.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Prüfe: Treffen sich die Linien?
Treffen sie sich nicht, gibt es kein Dreieck.
Treffen sie sich zweimal, gibt es zwei Dreiecke.
Ein Beispiel
Du hältst einen Stab schräg an eine Wand und lässt eine Schnur mit fester Länge schwingen. Ist die Schnur zu kurz, erreicht sie den Stab nicht. Ist sie genau richtig, berührt sie ihn. Ist sie länger, trifft sie ihn an zwei Stellen.
Schritt für Schritt
Die Lösbarkeit entscheiden
- Bestimme den Fall: drei Seiten, Seite-Winkel-Seite, Seite mit zwei Winkeln oder Seite-Seite-Winkel.
- Prüfe die Bedingung: Dreiecksungleichung oder Winkelsumme.
- Bei Seite-Seite-Winkel: Prüfe den Kreisbogen.
- Schreibe das Ergebnis und die Begründung.
Mit einem Bild erklärt
| Gegeben | Bedingung | Ergebnis |
|---|---|---|
| a, b, c | zwei Seiten zusammen länger als die dritte | ein Dreieck, sonst keins |
| b, c und α dazwischen | keine | immer ein Dreieck |
| c, α, β | α + β < 180° | ein Dreieck, sonst keins |
| a, b, α nicht dazwischen | Kreisbogen prüfen | keins, eins oder zwei |
Zur Grundlage zurück
- Dreieck aus drei Seiten – Drei Seiten und die Dreiecksungleichung kennst du schon.
- Eine Seite und zwei Winkel – Seite und zwei Winkel kennst du auch schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die zwei kürzeren Seiten und vergleiche mit der längsten.
Lösung ansehen
Lösung: keins
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Gegeben sind c = 7 cm, α = 40° und β = 50°. Wie viele Dreiecke gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
Prüfe: Ist 40° + 50° kleiner als 180°?
Lösung ansehen
Lösung: 1
40° + 50° = 90° ist kleiner als 180°. Es gibt genau ein Dreieck.
Tipp: Skizziere die Planfigur. Oft siehst du schon dort, ob die Kreisbögen sich treffen.
Merksatz: Drei Seiten: Dreiecksungleichung prüfen. Seite, Winkel, Seite: immer ein Dreieck. Seite und zwei Winkel: Winkelsumme kleiner als 180°. Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischen liegt: keins, eins oder zwei Dreiecke.
Typischer Fehler: Viele denken, drei Angaben ergeben immer ein Dreieck. Zwei Seiten mit einem Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt, brauchen eine genauere Prüfung.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Gegeben sind α = 30°, b = 8 cm und a = 5 cm. Wie viele Dreiecke gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
C hat 4 cm Abstand zu AB. Ist a größer als 4 cm und kleiner als b?
Lösung ansehen
Lösung: 2
5 cm sind größer als 4 cm und kleiner als 8 cm. Der Bogen schneidet den Schenkel zweimal.
Frage 2 Gegeben sind α = 30°, b = 8 cm und a = 3 cm. Wie viele Dreiecke gibt es?
Zeig mir den ersten Schritt
C hat 4 cm Abstand zu AB. Reicht a mit 3 cm?
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Lösung: 0
3 cm sind kürzer als 4 cm. Der Bogen erreicht den Schenkel nicht.
Lösung ansehen
Lösung: genau eins
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: Die zwei kurzen Seiten liegen flach auf der langen
Geschafft
Eine Konstruktion kann eindeutig, mehrdeutig oder unmöglich sein. Das prüfst du mit der Dreiecksungleichung, der Winkelsumme oder dem Kreisbogen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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