Welches Verfahren passt?
Du wählst zu jeder quadratischen Gleichung das schnellste Verfahren und löst damit auch Sachaufgaben.
Das lernst du heute
- Ich erkenne, welches Verfahren zur Gleichung passt.
- Ich löse Gleichungen mit dem passenden Verfahren.
- Ich deute die Lösungen in einer Sachaufgabe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Nullstellen von Parabeln, Die p-q-Formel
Du kennst jetzt mehrere Verfahren. Gute Rechnerinnen und Rechner schauen zuerst auf die Gleichung und wählen dann das schnellste.
Fehlt das einzelne x (a · x² + c = 0)? Dann formst du um und ziehst die Wurzel.
Fehlt die reine Zahl (a · x² + b · x = 0)? Dann klammerst du x aus und nutzt das Nullprodukt.
Steht schon ein Quadrat in der Klammer, zum Beispiel (x − 3)² = 16? Dann ziehst du sofort die Wurzel.
Sind x², x und die Zahl da? Dann stellst du die Normalform her und nutzt die p-q-Formel. Die quadratische Ergänzung führt zum gleichen Ergebnis, ist aber länger.
| Gleichung | Merkmal | Verfahren | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x² − 49 = 0 | kein einzelnes x | Wurzel ziehen | 7 und −7 |
| x² + 7x = 0 | keine reine Zahl | Ausklammern | 0 und −7 |
| (x − 3)² = 16 | Quadrat in Klammer | Wurzel ziehen | 7 und −1 |
| x² + x − 12 = 0 | alles vorhanden | p-q-Formel | 3 und −4 |
Beet: Länge 3 m länger als Breite, Fläche 40 m²
- Breite x, Länge x + 3. Fläche: x · (x + 3) = 40.
- Ausmultiplizieren: x² + 3x = 40. Normalform: x² + 3x − 40 = 0.
- p-q-Formel: p = 3, q = −40. −p/2 = −drei Halbe. Wurzelterm: neun Viertel + 40 = 169 Viertel. Wurzel: 13 Halbe.
- x = −drei Halbe + 13 Halbe = 5 oder x = −drei Halbe − 13 Halbe = −8.
- Eine Breite von −8 m gibt es nicht. Es gilt x = 5.
- Antwort: 5 m breit und 8 m lang. Probe: 5 · 8 = 40.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Frage 1: Fehlt das einzelne x?
Frage 2: Fehlt die Zahl?
Frage 3: Steht ein Quadrat in der Klammer?
Sonst: p-q-Formel.
Ein Beispiel
Für ein Rechteck mit bekannter Fläche suchst du Länge und Breite. Die Länge hängt von der Breite ab. So entsteht eine quadratische Gleichung.
Schritt für Schritt
Wir lösen x² + 7x = 0
- Es fehlt die reine Zahl.
- Ausklammern: x · (x + 7) = 0.
- x = 0 oder x + 7 = 0.
- x = 0 oder x = −7.
- L = {−7; 0}
Mit einem Bild erklärt
| Schaue zuerst | Dann |
|---|---|
| einzelnes x fehlt | Wurzel ziehen |
| Zahl fehlt | Ausklammern, Nullprodukt |
| Quadrat in Klammer | Wurzel ziehen |
| alles da | p-q-Formel |
Zur Grundlage zurück
- Nullstellen von Parabeln – Das Lösen mit den Verfahren hast du dort angewendet.
- Die p-q-Formel – Die p-q-Formel brauchst du als Standardverfahren.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: Wurzel ziehen
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse x² + x − 12 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
p = 1, q = −12.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x = −ein halb ± sieben Halbe, also 3 oder −4.
Tipp: Schau zuerst auf das Fehlende: Fehlt das einzelne x? Fehlt die Zahl? Dann geht es schneller als mit der Formel.
Merksatz: Fehlt das einzelne x: Wurzel ziehen. Fehlt die Zahl: Ausklammern. Alles da: p-q-Formel. Bei Sachaufgaben zuletzt prüfen, ob die Lösung zur Situation passt.
Typischer Fehler: Viele wenden bei jeder Gleichung die p-q-Formel an. Das geht, ist aber oft länger. Bei Sachaufgaben vergessen viele, unsinnige Lösungen wie negative Längen auszuschließen.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Ausklammern
Frage 2 Löse (x − 3)² = 16. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe die Wurzel: x − 3 = 4 oder x − 3 = −4.
Lösung ansehen
Lösung: 7
x = 7 oder x = −1.
Frage 3 Ein Beet ist x m breit und (x + 3) m lang. Die Fläche ist 40 m². Wie breit ist das Beet?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse x² + 3x − 40 = 0.
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Lösung: 5
x = 5 oder x = −8. Eine negative Breite gibt es nicht.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Wähle das Verfahren nach der Form der Gleichung. Bei Sachaufgaben deutest du die Lösungen am Ende.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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