Keine, eine oder zwei Lösungen
Der Wert unter der Wurzel verrät, wie viele Lösungen es gibt. Du entscheidest das vor dem Ausrechnen.
Das lernst du heute
- Ich berechne den Wert unter der Wurzel.
- Ich lese daraus die Anzahl der Lösungen ab.
- Ich bestimme einen Wert so, dass es genau eine Lösung gibt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die p-q-Formel
In der p-q-Formel steht unter der Wurzel der Term (p/2)² − q. Er heißt Wurzelterm. Sein Wert entscheidet über die Anzahl der Lösungen.
Ist er größer als 0, gibt es zwei Lösungen: x = −p/2 + Wurzel und x = −p/2 − Wurzel.
Ist er gleich 0, gibt es eine Lösung: x = −p/2. Denn plus und minus null sind gleich.
Ist er kleiner als 0, gibt es keine Lösung. Aus einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen.
| Gleichung | (p/2)² − q | Anzahl | Lösungen |
|---|---|---|---|
| x² + 2x − 3 = 0 | 1 + 3 = 4 | zwei | 1 und −3 |
| x² − 6x + 9 = 0 | 9 − 9 = 0 | eine | 3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | 1 − 5 = −4 | keine | keine |
Anzahl der Lösungen von x² + 4x + k = 0
- p = 4, also (p/2)² = 4. Der Wurzelterm ist 4 − k.
- k = 3: 4 − 3 = 1 > 0. Zwei Lösungen: x = −2 ± 1, also −1 und −3.
- k = 4: 4 − 4 = 0. Eine Lösung: x = −2.
- k = 5: 4 − 5 = −1 < 0. Keine Lösung.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Rechne (p/2)² − q.
Positiv: zwei Lösungen.
Null: eine Lösung.
Negativ: keine Lösung.
Ein Beispiel
Eine Parabel kann die x-Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht treffen. Der Wurzelterm sagt, welcher Fall vorliegt.
Schritt für Schritt
Wir prüfen x² + 2x + 5 = 0
- p = 2, q = 5.
- (p/2)² = 1.
- 1 − 5 = −4.
- Der Wert ist negativ.
- Es gibt keine Lösung: L = { }.
Mit einem Bild erklärt
| Wurzelterm | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| größer als 0 | zwei |
| gleich 0 | eine |
| kleiner als 0 | keine |
Zur Grundlage zurück
- Die p-q-Formel – Du brauchst die p-q-Formel aus der Lektion davor.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Berechne (p/2)² − q für x² + 4x + 3 = 0.
Zeig mir den ersten Schritt
p = 4, also (p/2)² = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 1
4 − 3 = 1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Für welchen Wert von k hat x² + 4x + k = 0 genau eine Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Wurzelterm muss 0 sein: 4 − k = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 4
k = 4. Dann ist (x + 2)² = 0.
Tipp: Rechne zuerst nur den Wurzelterm aus. Dann weißt du schon, wie viele Lösungen kommen.
Merksatz: (p/2)² − q > 0: zwei Lösungen. (p/2)² − q = 0: eine Lösung. (p/2)² − q < 0: keine Lösung.
Typischer Fehler: Viele vergessen, dass „keine Lösung“ möglich ist, und rechnen mit einer Wurzel aus einer negativen Zahl weiter. Das geht nicht.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: keine
Lösung ansehen
Lösung: eine
Frage 3 Löse x² + 4x + 3 = 0. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
x = −2 ± 1.
Lösung ansehen
Lösung: -1
x = −1 oder x = −3. Die größere ist −1.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Der Wert (p/2)² − q zeigt die Anzahl der Lösungen. Positiv: zwei. Null: eine. Negativ: keine.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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