Höhen mit ähnlichen Dreiecken bestimmen
Mit zwei Schatten und einem Stab bestimmst du die Höhe eines Baums, eines Turms oder eines Hauses, ohne hinaufzuklettern.
Das lernst du heute
- Ich erkenne ähnliche Dreiecke bei Schatten.
- Ich berechne die Höhe mit dem Streckfaktor.
- Ich bewerte, ob das Ergebnis und das Messen gut genug sind.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Längen mit Ähnlichkeit berechnen, Ähnliche Figuren erkennen
Wie hoch ist ein Baum, wenn du nicht hinaufklettern kannst? Mit ähnlichen Dreiecken. Die Sonnenstrahlen sind fast parallel. Ein Stab und ein Baum werfen zur selben Zeit Schatten. Stab, Schatten und Sonnenstrahl bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Baum, Schatten und Sonnenstrahl bilden ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck. Die Winkel sind gleich, also sind die beiden Dreiecke ähnlich. Beispiel: Ein Stab ist 1,5 m hoch und wirft einen Schatten von 2 m. Der Baum wirft einen Schatten von 12 m. Der Streckfaktor vom Schatten des Stabs zum Schatten des Baums ist 12 : 2 = 6. Also ist die Höhe des Baums 6 · 1,5 = 9 m. Bewerte dein Ergebnis: Der Boden muss eben sein. Der Stab muss senkrecht stehen. Beide Schatten müssen zur selben Zeit gemessen werden. Sonst wird das Ergebnis ungenau. Frage dich auch, ob 9 m für einen Baum sinnvoll ist.
Höhe eines Turms
- Stab: Höhe 2 m, Schatten 3 m. Turm: Schatten 45 m, Höhe h gesucht.
- k = 45 : 3 = 15.
- h = 15 · 2 = 30 m.
- Prüfen: 30 m ist für einen Turm sinnvoll. Das Ergebnis passt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Stab und Schatten messen.
Schatten des Gegenstands messen.
k ausrechnen, Höhe = k · Stabhöhe.
Ein Beispiel
Dein Schatten ist halb so lang wie du. Bei einem Baum ist der Schatten ebenfalls halb so lang wie der Baum, wenn du beide zur selben Zeit misst.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen die Höhe eines Fahnenmasts
- Stab: 3 m hoch, Schatten 4 m. Fahnenmast: Schatten 20 m.
- k = 20 : 4 = 5.
- Höhe: 5 · 3 = 15 m.
- Das ist für einen Fahnenmast sinnvoll.
Mit einem Bild erklärt
| Stab | Fahnenmast | |
|---|---|---|
| Schatten | 4 m | 20 m (mal 5) |
| Höhe | 3 m | 15 m (mal 5) |
Zur Grundlage zurück
- Längen mit Ähnlichkeit berechnen – Du berechnest Längen mit dem Streckfaktor.
- Ähnliche Figuren erkennen – Du erkennst ähnliche Dreiecke an gleichen Winkeln.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Stab ist 2 m hoch und wirft 3 m Schatten. Ein Turm wirft zur selben Zeit 45 m Schatten. Wie hoch ist der Turm in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 45 : 3.
Lösung ansehen
Lösung: 30
k = 15 und 15 · 2 = 30.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Stab ist 3 m hoch und wirft 4 m Schatten. Ein Fahnenmast wirft zur selben Zeit 20 m Schatten. Wie hoch ist der Mast in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 20 : 4.
Lösung ansehen
Lösung: 15
k = 5 und 5 · 3 = 15.
Tipp: Miss die Schatten von Stab und Gegenstand zur selben Zeit. Sonst stimmt der Sonnenstand nicht.
Merksatz: Ähnliche Dreiecke: Höhe : Schatten ist bei beiden gleich. Höhe = k · Stabhöhe mit k = Schatten Gegenstand : Schatten Stab.
Typischer Fehler: Viele messen die beiden Schatten zu verschiedenen Zeiten. Dann steht die Sonne anders, die Winkel sind verschieden, und die Dreiecke sind nicht ähnlich. Auch ein schief gehaltener Stab verfälscht das Ergebnis.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Stab ist 1,5 m hoch und wirft 2 m Schatten. Ein Mast wirft zur selben Zeit 12 m Schatten. Wie hoch ist der Mast in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 12 : 2 = 6.
Lösung ansehen
Lösung: 9
6 · 1,5 = 9.
Frage 2 Ein Stab ist 2 m hoch und wirft 3 m Schatten. Ein Haus wirft zur selben Zeit 15 m Schatten. Wie hoch ist das Haus in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
k = 15 : 3 = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 10
5 · 2 = 10.
Lösung ansehen
Lösung: Dann hat die Sonne denselben Winkel und die Dreiecke sind ähnlich.
Lösung ansehen
Lösung: Messung und Rechnung kontrollieren, denn 90 m ist für einen Baum unwahrscheinlich.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du bestimmst Höhen mit ähnlichen Dreiecken und bewertest dein Ergebnis.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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