Sinusfunktionen mit Software anpassen
Mit digitalen Werkzeugen zeichnest du Sinuskurven und passt a und b an gegebene Daten an.
Das lernst du heute
- Ich zeichne f(x) = a · sin(b · x) mit einem digitalen Werkzeug.
- Ich passe a und b an Messwerte an.
- Ich beschreibe einen periodischen Vorgang mit einer Sinusfunktion.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Periode: f(x) = sin(b · x)
Mit einem Funktionsplotter oder einer Geometriesoftware zeichnest du Graphen schnell. Du gibst den Term ein, zum Beispiel f(x) = a * sin(b * x). Viele Programme bieten Schieberegler für a und b an. Du ziehst am Regler und siehst sofort, wie sich die Welle ändert.
Achte auf den Winkelmodus. Viele Programme rechnen mit Bogenmaß statt mit Grad. Das Bogenmaß ist eine andere Einheit für Winkel: 360° entsprechen 2π ≈ 6,28. Dann stimmen die Werte nicht. Stelle auf Grad um oder rechne den Winkel um: Grad mal π geteilt durch 180 ergibt Bogenmaß.
In einer Tabellenkalkulation schreibst du die Winkel in eine Spalte. In die Nachbarspalte kommt zum Beispiel =3*SIN(2*A2*PI()/180). Du ziehst die Formel nach unten und erhältst die Wertetabelle.
Anpassen an Daten: Ein Pendel hat die Auslenkung s(t) = 4 · sin(90 · t) mit t in Sekunden und s in cm. Die Amplitude ist 4 cm, die Periode 360 : 90 = 4 s.
| x in Grad | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 · sin(2x), gerundet auf Zehntel | 0 | 1,5 | 2,6 | 3 | 2,6 | 1,5 | 0 |
Eine Sinusfunktion an Daten anpassen
- Gegeben: Höchstwert 3 bei x = 45° und Nullstelle bei x = 90°.
- Der Höchstwert ist 3, also ist die Amplitude a = 3.
- Vom Höchstwert bis zur nächsten Nullstelle ist ein Viertel der Periode: 90° − 45° = 45°. Also ist die Periode 4 · 45° = 180°.
- b = 360° : 180° = 2.
- Probe: f(x) = 3 · sin(2x). f(45°) = 3 · sin 90° = 3. f(90°) = 3 · sin 180° = 0.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gib den Term im Programm ein.
Ziehe an den Reglern für a und b.
Prüfe, ob die Welle durch deine Punkte geht.
Ein Beispiel
Ein Federpendel schwingt bis zu 4 cm nach oben und nach unten. Eine volle Schwingung dauert 4 s. Dann passt s(t) = 4 · sin(90 · t).
Schritt für Schritt
Wir bestimmen a und b für ein Pendel
- Die Auslenkung beträgt höchstens 4 cm. Also ist a = 4.
- Eine Schwingung dauert 4 s. Die Periode ist 4 s.
- b = 360 : 4 = 90.
- s(t) = 4 · sin(90 · t). Probe: s(1) = 4 · sin 90° = 4. s(3) = 4 · sin 270° = −4.
Mit einem Bild erklärt
| t in s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| s in cm | 0 | 4 | 0 | −4 | 0 |
Zur Grundlage zurück
- Die Periode: f(x) = sin(b · x) – Amplitude und Periode brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Graph hat den Höchstwert 6. Er ist von der Form f(x) = a · sin(b · x) mit a > 0. Wie groß ist a?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Amplitude ist der Höchstwert.
Lösung ansehen
Lösung: 6
a = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Periode ist 90 s. f(t) = a · sin(b · t). Wie groß ist b?
Zeig mir den ersten Schritt
b = 360 : Periode.
Lösung ansehen
Lösung: 4
360 : 90 = 4.
Tipp: Prüfe jede Anpassung an mindestens zwei Datenpunkten. Wenn nur einer passt, stimmt die Funktion meist nicht.
Merksatz: Amplitude a = Höchstwert (bei a > 0). Periode = 4 · (Abstand zwischen einer Nullstelle und dem nächsten Hoch- oder Tiefpunkt). b = 360° : Periode.
Typischer Fehler: Ein häufiger Fehler: Das Programm steht auf Bogenmaß. Dann sieht der Graph viel zu schmal aus: Die Wellen liegen sehr dicht beieinander. Prüfe zuerst den Winkelmodus.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Der Winkelmodus steht auf Bogenmaß.
Frage 2 Ein Pendel hat s(t) = 4 · sin(90 · t) mit t in s und s in cm. Wie groß ist s(3) in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 90 · 3 = 270.
Lösung ansehen
Lösung: -4
s(3) = 4 · sin 270° = 4 · (−1) = −4.
Frage 3 Eine Welle hat den Höchstwert 5 und die Periode 180°. Wie groß ist b in f(x) = 5 · sin(b · x)?
Zeig mir den ersten Schritt
b = 360° : Periode.
Lösung ansehen
Lösung: 2
360 : 180 = 2.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: 180°
Geschafft
Mit Software passt du a und b an Daten an. Aus dem Höchstwert liest du a ab, aus der Periode berechnest du b.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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