Der Satz an Quadraten sehen
Über jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks kannst du ein Quadrat zeichnen. Die beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie das große.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe den Satz des Pythagoras mit Quadraten.
- Ich schreibe ihn als a² + b² = c².
- Ich prüfe ihn an Zahlenbeispielen.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Katheten und Hypotenuse, Flächeninhalt des Rechtecks
Zeichne über jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat. Bei den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm hat das Quadrat über der kürzeren Kathete die Fläche 3 · 3 = 9 cm². Über der anderen Kathete sind es 4 · 4 = 16 cm². Über der Hypotenuse sind es 5 · 5 = 25 cm². Es gilt: 9 + 16 = 25. Das gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck. Das ist der Satz des Pythagoras: Die Flächen der beiden Quadrate über den Katheten ergeben zusammen die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse. Mit Buchstaben: a² + b² = c². Dabei sind a und b die Katheten und c ist die Hypotenuse. Ein zweites Beispiel: a = 5, b = 12 und c = 13. Es gilt 25 + 144 = 169. Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
Zahlen prüfen
- Dreieck mit a = 6, b = 8 und c = 10.
- a² = 36.
- b² = 64.
- a² + b² = 36 + 64 = 100.
- c² = 100. Es stimmt: a² + b² = c².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Quadrat über jeder Seite.
Kleine Quadrate zusammen: so groß wie das große.
9 + 16 = 25.
Ein Beispiel
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 3 m, 4 m und 5 m. Über jeder Seite liegt ein quadratisches Beet: 9 m², 16 m² und 25 m². Die beiden kleinen Beete sind zusammen so groß wie das große Beet über der Hypotenuse.
Schritt für Schritt
Wir prüfen den Satz mit 5, 12 und 13
- Kathetenquadrate: 5² = 25 und 12² = 144.
- Summe: 25 + 144 = 169.
- Hypotenusenquadrat: 13² = 169.
- Beide Seiten sind gleich.
Mit einem Bild erklärt
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| Länge | 3 | 4 | 5 |
| Quadrat | 9 | 16 | 25 |
| Summe der Kathetenquadrate | 9 + 16 = 25 |
Zur Grundlage zurück
- Katheten und Hypotenuse – Du brauchst die Namen der Seiten.
- Flächeninhalt des Rechtecks – Die Fläche eines Quadrats ist Seite mal Seite.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Die Quadrate über den Katheten haben 9 cm² und 16 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere die beiden Flächen.
Lösung ansehen
Lösung: 25
9 + 16 = 25.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 cm und 12 cm. Wie groß ist c²?
Zeig mir den ersten Schritt
c² = a² + b².
Lösung ansehen
Lösung: 169
25 + 144 = 169.
Tipp: Der Satz verbindet drei Quadrate. Zeichne sie, wenn du unsicher bist.
Merksatz: Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Dabei ist c die Hypotenuse.
Typischer Fehler: Viele rechnen a + b = c. Bei 3, 4 und 5 ist 3 + 4 = 7, nicht 5. Die Seitenlängen werden erst quadriert: 3² + 4² = 5².
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 und 8. Wie groß ist a² + b²?
Zeig mir den ersten Schritt
Quadriere beide Katheten.
Lösung ansehen
Lösung: 100
36 + 64 = 100.
Frage 2 Wie groß ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 12 cm in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Seite mal Seite.
Lösung ansehen
Lösung: 144
12 · 12 = 144.
Lösung ansehen
Lösung: a² + b² = c²
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Die Quadrate über den Katheten haben 25 cm² und 144 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere 25 und 144.
Lösung ansehen
Lösung: 169
25 + 144 = 169.
Geschafft
Du kennst den Satz des Pythagoras als Satz über Quadrate.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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