Wurzeln schrittweise eingrenzen
Mit einem schrittweisen Verfahren bestimmst du eine Wurzel immer genauer, ohne Taschenrechner.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe das Verfahren zum schrittweisen Eingrenzen.
- Ich grenze eine Wurzel auf Zehntel und Hundertstel ein.
- Ich erkläre, warum ein gerundeter Wert nicht genau ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Wurzeln im Kopf und überschlagen, Dezimalzahlen vergleichen
Die meisten Wurzeln sind keine ganzen Zahlen. Wie findest du sie ohne Taschenrechner? Mit einem Verfahren, das Schritt für Schritt eingrenzt. Man nennt es Intervallschachtelung. Beispiel √2. Schritt 1: 1² = 1 ist zu klein, 2² = 4 ist zu groß. Also gilt 1 < √2 < 2. Schritt 2: Probiere Zehntel. 1,4² = 1,96 ist zu klein, 1,5² = 2,25 ist zu groß. Also gilt 1,4 < √2 < 1,5. Schritt 3: Probiere Hundertstel. 1,41² = 1,9881 ist zu klein, 1,42² = 2,0164 ist zu groß. Also gilt 1,41 < √2 < 1,42. Schritt 4: 1,414² = 1,999396 ist zu klein, 1,415² = 2,002225 ist zu groß. Also gilt 1,414 < √2 < 1,415. Mit jedem Schritt wird der Bereich zehnmal kleiner. Du kannst das Verfahren beliebig oft wiederholen. Eine Tabellenkalkulation kann dir die Quadrate ausrechnen. Du gibst die Zahlen ein und lässt sie quadrieren.
| Schritt | zu klein | zu groß | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| ganze Zahlen | 1² = 1 | 2² = 4 | 1 < √2 < 2 |
| Zehntel | 1,4² = 1,96 | 1,5² = 2,25 | 1,4 < √2 < 1,5 |
| Hundertstel | 1,41² = 1,9881 | 1,42² = 2,0164 | 1,41 < √2 < 1,42 |
| Tausendstel | 1,414² = 1,999396 | 1,415² = 2,002225 | 1,414 < √2 < 1,415 |
√10 eingrenzen
- 3² = 9 ist zu klein, 4² = 16 ist zu groß: 3 < √10 < 4.
- Zehntel: 3,1² = 9,61 ist zu klein, 3,2² = 10,24 ist zu groß.
- Also gilt 3,1 < √10 < 3,2.
- Hundertstel: 3,16² = 9,9856 ist zu klein, 3,17² = 10,0489 ist zu groß.
- Also gilt 3,16 < √10 < 3,17.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Suche zwei Zahlen: Das Quadrat der einen ist zu klein, das der anderen zu groß.
Dazwischen liegt die Wurzel.
Wiederhole mit mehr Stellen.
Ein Beispiel
Du suchst eine Hausnummer in einer langen Straße. Erst schaust du, in welchem Abschnitt sie liegt, dann in welchem Haus. So kommst du immer näher.
Schritt für Schritt
Wir grenzen √5 ein
- 2² = 4 ist zu klein, 3² = 9 ist zu groß: 2 < √5 < 3.
- Zehntel: 2,2² = 4,84 ist zu klein, 2,3² = 5,29 ist zu groß.
- Also gilt 2,2 < √5 < 2,3.
Mit einem Bild erklärt
| Zahl | Quadrat | Vergleich mit 5 |
|---|---|---|
| 2,2 | 4,84 | zu klein |
| 2,3 | 5,29 | zu groß |
Zur Grundlage zurück
- Wurzeln im Kopf und überschlagen – Das Einordnen zwischen zwei Quadratzahlen ist der erste Schritt.
- Dezimalzahlen vergleichen – Du vergleichst Dezimalzahlen mit mehreren Stellen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: 5 und 6
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: 1,7 < √3 < 1,8
Tipp: Du kannst schneller sein, wenn du die Mitte testest. Bei einem Bereich von 3 bis 4 prüfst du 3,5. Wegen 3,5² = 12,25 ist 3,5 für √10 zu groß. Der Bereich ist dann 3 bis 3,5.
Merksatz: Eingrenzen: Quadriere Kandidaten. Ein Wert ist zu klein, einer zu groß. Dazwischen liegt die Wurzel. Jeder Schritt bringt eine Stelle mehr.
Typischer Fehler: Viele schreiben √2 = 1,41, weil das Quadrat schon nah an 2 liegt. Das ist ein gerundeter Wert. 1,41² = 1,9881, nicht 2. Schreibe ≈ oder gib die Grenzen an.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √70? Gib die kleinere Zahl an.
Zeig mir den ersten Schritt
64 = 8² und 81 = 9².
Lösung ansehen
Lösung: 8
64 < 70 < 81, also liegt √70 zwischen 8 und 9.
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Lösung: 3,1 < √10 < 3,2
Lösung ansehen
Lösung: √10 ist kleiner als 3,2.
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Lösung: 2,2 < √5 < 2,3
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du grenzt Wurzeln mit einem Verfahren Schritt für Schritt ein.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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