Irrationale und reelle Zahlen
Nicht jede Zahl lässt sich als Bruch schreiben. Solche Zahlen heißen irrational. Zusammen mit den rationalen bilden sie die reellen Zahlen.
Das lernst du heute
- Ich unterscheide rationale und irrationale Zahlen.
- Ich nenne Beispiele für irrationale Zahlen.
- Ich erkläre, was reelle Zahlen sind.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Wurzeln schrittweise eingrenzen, Periodische Dezimalzahlen
Rationale Zahlen kannst du als Bruch schreiben. Dazu gehören ganze Zahlen (3 = drei 1tel), Brüche und alle Dezimalzahlen, die enden oder sich wiederholen. Die Ziffern, die sich immer wiederholen, heißen Periode. Beispiele: 0,75 = drei Viertel und 0,333… = ein Drittel. Auch √16 = 4 und √0,25 = 0,5 sind rational. Aber √2 kannst du nicht als Bruch schreiben. Beim Eingrenzen hast du gesehen: Die Dezimalzahl 1,41421… hört nie auf, und es gibt keine sich wiederholende Gruppe von Ziffern. Solche Zahlen heißen irrational. Man kann beweisen, dass √2 sich nie als Bruch schreiben lässt. Weitere irrationale Zahlen sind √3, √5, √7 und die Kreiszahl π = 3,14159… Für positive ganze Zahlen n gilt: Ist n keine Quadratzahl, dann ist √n irrational. Rationale und irrationale Zahlen zusammen heißen reelle Zahlen. Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade ohne Lücken. Jeder Punkt gehört zu einer reellen Zahl.
| Zahl | Dezimalzahl | Art |
|---|---|---|
| drei Viertel | 0,75 (endet) | rational |
| ein Drittel | 0,333… (Periode 3) | rational |
| √16 | 4 | rational |
| √2 | 1,41421… (keine Periode) | irrational |
| π | 3,14159… (keine Periode) | irrational |
√20 und √25 einordnen
- Ist 20 eine Quadratzahl? 4² = 16 und 5² = 25. Nein.
- Also ist √20 irrational.
- Zum Vergleich: 25 = 5², also √25 = 5.
- √25 ist rational.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Rational: Bruch möglich.
Irrational: kein Bruch möglich.
Zusammen: reelle Zahlen.
Ein Beispiel
Ein Bruch wie ein Drittel hat eine Dezimalzahl mit einer Wiederholung: 0,333… Bei √2 gibt es diese Wiederholung nicht. Darum lässt sich √2 nicht als Bruch schreiben.
Schritt für Schritt
Wir ordnen √7 ein
- Ist 7 eine Quadratzahl? 2² = 4 und 3² = 9. Nein.
- Also ist √7 irrational.
- Die Dezimalzahl 2,6457… hört nie auf und hat keine Periode.
Mit einem Bild erklärt
| Radikand | Quadratzahl? | Wurzel ist |
|---|---|---|
| 16 | ja (4²) | rational |
| 7 | nein | irrational |
| 49 | ja (7²) | rational |
Zur Grundlage zurück
- Wurzeln schrittweise eingrenzen – Beim Eingrenzen hast du gesehen, dass √2 nie endet.
- Periodische Dezimalzahlen – Periodische Dezimalzahlen sind rational.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: rational, denn √36 = 6
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie viele der Zahlen √2, √16, √25, √26 sind irrational?
Zeig mir den ersten Schritt
Prüfe bei jeder Zahl, ob der Radikand eine Quadratzahl ist.
Lösung ansehen
Lösung: 2
16 und 25 sind Quadratzahlen. 2 und 26 nicht. Also sind √2 und √26 irrational.
Tipp: Prüfe bei einer positiven ganzen Zahl zuerst, ob sie eine Quadratzahl ist. Wenn ja, ist die Wurzel eine ganze Zahl und damit rational. Wenn nein, ist sie irrational.
Merksatz: Rational: als Bruch schreibbar. Irrational: nicht als Bruch schreibbar, die Dezimalzahl endet nie und hat keine Periode. Rationale und irrationale Zahlen bilden die reellen Zahlen.
Typischer Fehler: Viele halten jede Wurzel für irrational. Aber √49 = 7 ist rational. Viele denken auch, π sei 3,14. Das ist nur ein Näherungswert. π hat unendlich viele Stellen ohne Periode.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: √7
Frage 2 Wie viele der Zahlen √4, √5, √9, √10 sind rational?
Zeig mir den ersten Schritt
Welche Radikanden sind Quadratzahlen?
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Lösung: 2
√4 = 2 und √9 = 3 sind rational. √5 und √10 nicht.
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Lösung: Stimmt nicht
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Lösung: zu den irrationalen Zahlen
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du ordnest Zahlen als rational oder irrational ein.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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