Mit Wurzeln rechnen
Die Wurzelgesetze helfen dir, Wurzeln ohne Taschenrechner zu berechnen und zu vereinfachen.
Das lernst du heute
- Ich wende √a · √b = √(a · b) und √a : √b = √(a : b) an.
- Ich zerlege Wurzeln in Faktoren.
- Ich erkenne, dass √(a + b) nicht √a + √b ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Irrationale und reelle Zahlen, Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens
Für Wurzeln gelten zwei Regeln, die Wurzelgesetze. Sie gelten für a ≥ 0 und b ≥ 0, beim Teilen mit b > 0. Erstes Gesetz: √a · √b = √(a · b). Zweites Gesetz: √a : √b = √(a : b). Damit rechnest du ohne Taschenrechner. Beispiele: √2 · √8 = √16 = 4 und √50 : √2 = √25 = 5. Du kannst die Gesetze auch rückwärts nutzen: √(16 · 25) = √16 · √25 = 4 · 5 = 20. So zerlegst du eine Wurzel in Faktoren. Beispiel: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6 · √2. Das schreibt man kurz 6√2. Es ist ein genauer Wert. Auf Hundertstel gerundet ist 6√2 ≈ 8,49. Achtung bei Summen: √(a + b) ist nicht √a + √b. Beispiel: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
| Gesetz | Beispiel |
|---|---|
| √a · √b = √(a · b) | √2 · √8 = √16 = 4 |
| √a : √b = √(a : b) | √50 : √2 = √25 = 5 |
| Zerlegen | √72 = √36 · √2 = 6√2 |
| Summe | √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7 |
√12 · √3 berechnen
- Erstes Wurzelgesetz: √12 · √3 = √(12 · 3).
- 12 · 3 = 36.
- √36 = 6.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zwei Wurzeln mal: unter einer Wurzel zusammenfassen.
√2 · √8 = √16 = 4.
Bei Plus geht das nicht.
Ein Beispiel
Ein Rechteck hat die Seiten √2 cm und √8 cm. Seine Fläche ist √2 · √8 = √16 = 4 cm². Ohne Gesetz müsstest du zwei Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen malnehmen.
Schritt für Schritt
Wir zerlegen √72
- Suche eine Quadratzahl, die in 72 steckt: 36 · 2 = 72.
- √72 = √36 · √2.
- √36 = 6.
- Ergebnis: √72 = 6√2.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| zerlegen | 72 = 36 · 2 |
| Gesetz | √72 = √36 · √2 |
| Wurzel ziehen | = 6 · √2 |
Zur Grundlage zurück
- Irrationale und reelle Zahlen – Du kennst jetzt rationale und irrationale Wurzeln.
- Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens – Du brauchst die Umkehrung von Quadrieren und Wurzelziehen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie viel ist √12 · √3?
Zeig mir den ersten Schritt
Fasse unter einer Wurzel zusammen: √(12 · 3).
Lösung ansehen
Lösung: 6
12 · 3 = 36 und √36 = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie viel ist √98 : √2?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile unter der Wurzel: √(98 : 2).
Lösung ansehen
Lösung: 7
98 : 2 = 49 und √49 = 7.
Tipp: Suche Faktoren, die Quadratzahlen sind: 4, 9, 16, 25, 36, 49. Zerlege den Radikanden damit.
Merksatz: √a · √b = √(a · b). √a : √b = √(a : b). Für Summen gilt das nicht: √(a + b) ≠ √a + √b.
Typischer Fehler: Viele schreiben √(9 + 16) = √9 + √16 = 7. Richtig ist √25 = 5. Die Wurzelgesetze gelten für Malnehmen und Teilen, aber nicht für Plus und Minus.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Wie viel ist √2 · √8?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 8 = 16.
Lösung ansehen
Lösung: 4
√16 = 4.
Frage 2 Wie viel ist √45 : √5?
Zeig mir den ersten Schritt
45 : 5 = 9.
Lösung ansehen
Lösung: 3
√9 = 3.
Frage 3 Wie viel ist √(16 · 25)?
Zeig mir den ersten Schritt
Zerlege: √16 · √25.
Lösung ansehen
Lösung: 20
4 · 5 = 20.
Lösung ansehen
Lösung: √72 = 6√2
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du rechnest mit Wurzelgesetzen und zerlegst Wurzeln.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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