Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens
Quadrieren und Wurzelziehen machen sich gegenseitig rückgängig. Das hilft bei Flächen und einfachen Gleichungen.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, dass Wurzelziehen das Quadrieren umkehrt.
- Ich berechne die Seite eines Quadrats aus der Fläche.
- Ich löse Gleichungen der Form x² = a.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Quadratzahlen und Quadratwurzeln, Wurzeln im Kopf und überschlagen
Quadrieren und Wurzelziehen machen sich gegenseitig rückgängig. Das nennt man Umkehrung. Quadrierst du eine Zahl und ziehst dann die Wurzel, bekommst du die Zahl zurück: √(5²) = 5. Ziehst du erst die Wurzel und quadrierst dann, ist es genauso: (√25)² = 25. Das Wurzelziehen heißt auch Radizieren. Die Umkehrung hilft bei Flächen: Aus A = a² folgt a = √A. Ein quadratisches Beet hat 36 m². Die Seite ist √36 = 6 m. Bei der Gleichung x² = 49 gibt es zwei Lösungen: x = 7 und x = −7, denn auch (−7)² = 49. Die Wurzel √49 selbst ist aber nur 7. Achtung bei negativen Zahlen: √((−3)²) = √9 = 3, nicht −3. Ist der Radikand keine Quadratzahl, hilft der Taschenrechner. Es gilt √200 ≈ 14,14, auf Hundertstel gerundet.
| Start | quadrieren | Wurzel ziehen |
|---|---|---|
| 5 | 25 | 5 |
| 12 | 144 | 12 |
| 0,3 | 0,09 | 0,3 |
Seite aus der Fläche
- Gegeben: quadratisches Beet mit 36 m².
- Gesucht: Seitenlänge a.
- A = a², also a = √A.
- a = √36 = 6.
- Probe: 6 · 6 = 36. Die Seite ist 6 m lang.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Zahl quadrieren: 5 wird 25.
Wurzel ziehen: 25 wird wieder 5.
Das eine macht das andere rückgängig.
Ein Beispiel
Du packst ein Geschenk ein und packst es wieder aus. Danach ist es wie vorher. So ist es mit Quadrieren und Wurzelziehen.
Schritt für Schritt
Wir lösen x² = 49
- Gesucht: Zahlen, die quadriert 49 ergeben.
- 7 · 7 = 49. Also ist x = 7 eine Lösung.
- Auch (−7) · (−7) = 49. Also ist x = −7 eine Lösung.
- Lösungen: x = 7 und x = −7.
Mit einem Bild erklärt
| x | x² |
|---|---|
| 7 | 49 |
| −7 | 49 |
Zur Grundlage zurück
- Quadratzahlen und Quadratwurzeln – Quadratwurzeln und Quadratzahlen kennst du schon.
- Wurzeln im Kopf und überschlagen – Das Bestimmen von Wurzeln im Kopf hilft beim Probieren.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein quadratisches Beet hat 36 m². Wie lang ist eine Seite in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Seite ist die Wurzel aus der Fläche.
Lösung ansehen
Lösung: 6
√36 = 6.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Quadrat hat die Fläche 225 cm². Wie lang ist eine Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Seite ist a = √A. Suche die Zahl, die mit sich selbst 225 ergibt.
Lösung ansehen
Lösung: 15
15 · 15 = 225.
Tipp: Mache immer die Probe: Quadriere dein Ergebnis. Du musst den Radikanden zurückbekommen.
Merksatz: √(a²) = a und (√a)² = a für a ≥ 0. Die Gleichung x² = a hat für a > 0 zwei Lösungen: √a und −√a.
Typischer Fehler: Viele schreiben √((−3)²) = −3. Richtig ist 3. Erst quadrieren: (−3)² = 9. Dann die Wurzel: √9 = 3. Die Wurzel ist nie negativ.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Wie viel ist √(8²)?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst quadrieren, dann die Wurzel ziehen.
Lösung ansehen
Lösung: 8
8² = 64 und √64 = 8.
Frage 2 Wie viel ist (√81)²?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst die Wurzel, dann quadrieren.
Lösung ansehen
Lösung: 81
√81 = 9 und 9² = 81.
Frage 3 Ein Quadrat hat die Fläche 169 cm². Wie lang ist eine Seite in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Suche die Zahl, die mit sich selbst 169 ergibt.
Lösung ansehen
Lösung: 13
13 · 13 = 169.
Lösung ansehen
Lösung: 5 und −5
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du nutzt das Radizieren als Umkehrung des Quadrierens.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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