Woher die Flächenformel kommt
Du erklärst zwei Ideen, wie man auf die Kreisformeln kommt: Zerschneiden und Annähern.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, wie man einen Kreis in ein Rechteck umlegt.
- Ich erkläre, warum Vielecke den Kreis annähern.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Den Flächeninhalt berechnen, Den Umfang berechnen
Warum gilt A = π · r²? Idee 1: Zerschneide den Kreis wie eine Torte in viele gleich große Stücke. Lege die Stücke abwechselnd nebeneinander, mal mit der Spitze nach oben, mal nach unten. Es entsteht fast ein Rechteck. Seine Höhe ist etwa r. Seine Länge ist etwa der halbe Umfang: u : 2 = π · r. Die Fläche des Rechtecks ist also π · r · r = π · r². Je dünner die Stücke, desto genauer ist das Rechteck. Das nennt man ein Näherungsverfahren.
Idee 2: Vielecke im Kreis
- Idee 2: Zeichne in einen Kreis mit r = 1 ein regelmäßiges Vieleck. Alle Ecken liegen auf dem Kreis.
- Mit 6 Ecken ist der Umfang genau 6. Der Kreis hat 2 · π ≈ 6,28.
- Mit 12 Ecken ist der Umfang etwa 6,21, mit 24 Ecken etwa 6,27 und mit 96 Ecken etwa 6,28.
- Mit mehr Ecken liegt das Vieleck immer näher am Kreis. Auch die Fläche nähert sich π ≈ 3,14.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Der Kreis wird in dünne Tortenstücke zerlegt.
Die Stücke ergeben fast ein Rechteck.
Länge halber Umfang, Höhe Radius.
Ein Beispiel
Stell dir eine runde Pizza vor. Du schneidest sie in 16 Stücke. Du legst die Stücke abwechselnd nebeneinander. Der Streifen ist fast gerade.
Schritt für Schritt
Vom Kreis zum Rechteck
- Zerschneide den Kreis in viele gleiche Stücke.
- Lege die Stücke abwechselnd nebeneinander.
- Die Höhe des Streifens ist r. Die Länge ist der halbe Umfang π · r.
- Fläche: Länge mal Höhe = π · r · r.
Mit einem Bild erklärt
| Ecken des Vielecks | Umfang (r = 1) | Fläche (r = 1) |
|---|---|---|
| 6 | 6,00 | 2,60 |
| 12 | 6,21 | 3,00 |
| 24 | 6,27 | 3,11 |
| 96 | 6,28 | 3,14 |
| Kreis | 6,28 | 3,14 |
Zur Grundlage zurück
- Den Flächeninhalt berechnen – A = π · r² kennst du schon aus der letzten Lektion.
- Den Umfang berechnen – Der Umfang u = 2 · π · r ist wichtig.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Kreis hat den Radius 50 cm. Wie lang ist der halbe Umfang in cm? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Der halbe Umfang ist π · r.
Lösung ansehen
Lösung: 157
3,14 · 50 cm = 157 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Kreis hat den Radius 100 cm. Wie lang ist der halbe Umfang in cm? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne π · r.
Lösung ansehen
Lösung: 314
3,14 · 100 cm = 314 cm.
Tipp: Du musst die Herleitung nicht auswendig lernen. Merke dir die Bilder: Aus vielen dünnen Stücken wird ein Rechteck mit der Länge π · r und der Höhe r.
Merksatz: Kreis zerschneiden: Rechteck mit Länge π · r und Höhe r. Also A = π · r · r. Vielecke mit immer mehr Ecken nähern den Kreis an.
Typischer Fehler: Viele denken, das umgelegte Rechteck sei genau ein Rechteck. Es ist nur eine Näherung. Erst bei unendlich vielen Stücken stimmt es genau.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Oben liegt die Hälfte der Stücke, unten die andere Hälfte.
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Lösung: Der halbe Umfang
Zeig mir den ersten Schritt
Wie lang ist ein Tortenstück von der Spitze bis zum Rand?
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Lösung: So hoch wie der Radius
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Lösung: Stimmt
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Der Kreis hat r = 10 cm. Das Rechteck hat die Länge π · r und die Höhe r. Wie groß ist seine Fläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 3,14 · 10 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 314
3,14 · 10 cm · 10 cm = 314 cm². Das ist die Kreisfläche.
Geschafft
Zerschneidest du einen Kreis in viele dünne Stücke, kannst du sie zu einem fast rechteckigen Streifen legen. Länge: π · r. Höhe: r. Fläche: π · r².
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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