Kreisbogen und Kreisausschnitt
Du berechnest Länge und Fläche eines Teils vom Kreis mit dem Mittelpunktswinkel.
Das lernst du heute
- Ich bestimme den Anteil eines Kreisausschnitts aus dem Winkel.
- Ich berechne Bogenlänge und Fläche des Ausschnitts.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Den Flächeninhalt berechnen, Den Umfang berechnen
Ein Kreisausschnitt (Sektor) ist ein Stück vom Kreis wie ein Tortenstück. Er wird von zwei Radien und einem Stück der Kreislinie begrenzt. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel α (sprich: Alpha). Das Stück der Kreislinie heißt Kreisbogen b. Der Anteil am ganzen Kreis ist α : 360°. Derselbe Anteil gilt für die Länge und die Fläche. Bogenlänge: b = α : 360° · u. Fläche des Ausschnitts: A = α : 360° · π · r². Beispiel: r = 10 cm, α = 60°. Der Anteil ist 60 : 360 = ein Sechstel.
Ausschnitt mit 60 Grad
- Aufgabe: r = 10 cm, α = 60°. Berechne Bogenlänge und Fläche des Ausschnitts. Runde auf ganze Zahlen.
- Anteil: 60° : 360° = ein Sechstel.
- Ganzer Kreis: u = 62,8 cm und A = 314 cm².
- Bogen: b = 62,8 cm : 6 = 10,47 cm. Das sind etwa 10 cm.
- Fläche: A = 314 cm² : 6 = 52,33 cm². Das sind etwa 52 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Wie groß ist das Stück vom Kreis?
Der Winkel geteilt durch 360 sagt es.
Dann nimmst du dieses Stück vom ganzen Kreis.
Ein Beispiel
Eine Pizza ist in 8 gleiche Stücke geschnitten. Jedes Stück hat den Winkel 360° : 8 = 45°. Die Fläche eines Stücks ist der achte Teil der ganzen Pizza.
Schritt für Schritt
Kreisausschnitt in drei Schritten
- Berechne den Anteil α : 360°.
- Berechne den ganzen Kreis: u oder A.
- Nimm den Anteil davon: Multipliziere mit dem Bruch. Bei Brüchen wie ein Viertel oder ein Sechstel teilst du einfach durch den Nenner.
Mit einem Bild erklärt
| α | Anteil | b (r = 10 cm) | A (r = 10 cm) |
|---|---|---|---|
| 90° | ein Viertel | 15,7 cm | 78,5 cm² |
| 180° | ein halb | 31,4 cm | 157 cm² |
| 60° | ein Sechstel | 10,47 cm | 52,33 cm² |
| 36° | ein Zehntel | 6,28 cm | 31,4 cm² |
Zur Grundlage zurück
- Den Flächeninhalt berechnen – Du kennst Umfang und Fläche des ganzen Kreises.
- Den Umfang berechnen – Umfang und Durchmesser kennst du.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Halbkreis hat den Radius 10 cm. Wie lang ist der Bogen? Runde auf ganze cm.
Zeig mir den ersten Schritt
Der Anteil ist 180° : 360° = ein halb. Nimm die Hälfte von u.
Lösung ansehen
Lösung: 31
u = 62,8 cm. Die Hälfte sind 31,4 cm. Gerundet sind das 31 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Kreisausschnitt hat r = 5 cm und α = 72°. Wie groß ist seine Fläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
Der Anteil ist 72 : 360 = ein Fünftel.
Lösung ansehen
Lösung: 16
A = 78,5 cm² : 5 = 15,7 cm². Gerundet sind das 16 cm².
Tipp: Rechne in drei Schritten: erst den Anteil α : 360°, dann den ganzen Kreis. Zum Schluss multiplizierst du den ganzen Kreis mit dem Anteil. Bei Anteilen wie ein Sechstel reicht es, durch den Nenner zu teilen.
Merksatz: Kreisausschnitt mit dem Winkel α: b = α : 360° · u und A = α : 360° · π · r².
Typischer Fehler: Viele rechnen mit dem Winkel direkt statt mit dem Anteil. Der Winkel 60° ist nicht 60 % und nicht ein 60stel. Der Anteil ist 60 : 360 = ein Sechstel.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 120 durch 360.
Lösung ansehen
Lösung: ein Drittel
Frage 2 Ein Halbkreis hat den Radius 10 cm. Wie groß ist seine Fläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Nimm die Hälfte von 314 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 157
314 cm² : 2 = 157 cm².
Frage 3 Ein Kreisausschnitt hat r = 20 cm und α = 45°. Wie groß ist die Fläche in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Der Anteil ist 45 : 360 = ein Achtel. Der ganze Kreis hat 1256 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 157
A = 3,14 · 20 · 20 cm² = 1256 cm². 1256 : 8 = 157 cm².
Frage 4 Ein Kreisausschnitt hat r = 6 cm und α = 90°. Wie lang ist der Bogen? Runde auf ganze cm.
Zeig mir den ersten Schritt
Der ganze Umfang ist 2 · 3,14 · 6 = 37,68 cm. Nimm ein Viertel.
Lösung ansehen
Lösung: 9
37,68 cm : 4 = 9,42 cm. Gerundet sind das 9 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Bogenlänge und Fläche eines Kreisausschnitts sind der Anteil α : 360° vom Umfang und von der Kreisfläche.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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