Kreisring und zusammengesetzte Figuren
Du berechnest Kreisringe und Figuren aus Kreisen, Halbkreisen und Rechtecken.
Das lernst du heute
- Ich berechne die Fläche eines Kreisrings.
- Ich zerlege Figuren in Rechtecke und Kreisteile und bewerte das Ergebnis.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Den Flächeninhalt berechnen, Umfang und Fläche zusammengesetzter Figuren
Ein Kreisring liegt zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Der äußere Kreis hat den Radius R, der innere den Radius r. Die Fläche des Rings ist die große Kreisfläche minus die kleine: A = π · R² − π · r² = π · (R² − r²). Beispiel: R = 5 cm, r = 3 cm. A = 3,14 · (25 − 9) cm² = 3,14 · 16 cm² = 50,24 cm². Viele Figuren bestehen aus Rechtecken und Kreisteilen. Du zerlegst sie, rechnest jedes Teil und addierst oder subtrahierst die Ergebnisse. Prüfe am Ende, ob das Ergebnis zu deiner Skizze passt.
Fenster mit Halbkreis
- Aufgabe: Ein Fenster ist ein Rechteck, 4 dm breit und 6 dm hoch. Oben sitzt ein Halbkreis mit dem Durchmesser 4 dm. Wie groß ist die Fläche?
- Rechteck: 4 dm · 6 dm = 24 dm².
- Halbkreis: r = 2 dm. Der ganze Kreis hätte 3,14 · 2 · 2 dm² = 12,56 dm². Der Halbkreis hat die Hälfte: 6,28 dm².
- Zusammen: 24 dm² + 6,28 dm² = 30,28 dm². Das sind etwa 30 dm².
- Prüfung: Der Halbkreis ist klein im Vergleich zum Rechteck. 30 dm² ist etwas mehr als das Rechteck allein. Das passt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Kreisring: großer Kreis minus kleiner Kreis.
Zuerst R · R und r · r.
Dann abziehen und mal π.
Ein Beispiel
Eine CD ist ein Kreisring. Der äußere Rand ist ein großer Kreis. In der Mitte fehlt ein kleiner Kreis. Die Fläche ist das, was übrig bleibt.
Schritt für Schritt
Kreisring berechnen
- Lies R und r ab. Ist ein Durchmesser gegeben, halbiere ihn.
- Rechne R · R und r · r.
- Ziehe ab.
- Multipliziere mit 3,14 und schreibe die Einheit.
Mit einem Bild erklärt
| R | r | R² − r² | A = 3,14 · (R² − r²) |
|---|---|---|---|
| 5 cm | 3 cm | 16 | 50,24 cm² |
| 10 cm | 6 cm | 64 | 200,96 cm² |
| 8 cm | 6 cm | 28 | 87,92 cm² |
Zur Grundlage zurück
- Den Flächeninhalt berechnen – Die Kreisfläche kennst du schon.
- Umfang und Fläche zusammengesetzter Figuren – Zusammengesetzte Figuren hast du schon zerlegt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Kreisring hat R = 8 cm und r = 6 cm. Wie groß ist die Fläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
R² = 64 und r² = 36. Ziehe ab: 28.
Lösung ansehen
Lösung: 88
A = 3,14 · 28 cm² = 87,92 cm². Gerundet sind das 88 cm².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Kreisring hat R = 10 cm und r = 8 cm. Wie groß ist die Fläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 100 − 64.
Lösung ansehen
Lösung: 113
A = 3,14 · 36 cm² = 113,04 cm². Gerundet sind das 113 cm².
Tipp: Skizziere die Figur und zerlege sie. Schreibe zu jedem Teil seine Maße. Bei einem Halbkreis ist der Durchmesser oft die Breite des Rechtecks. Der Radius ist dann die Hälfte davon.
Merksatz: Kreisring: A = π · (R² − r²). Zusammengesetzte Figur: zerlegen, Teile berechnen, addieren oder subtrahieren, Ergebnis prüfen.
Typischer Fehler: Viele rechnen π · (R − r)² statt π · (R² − r²). Das ist ein anderer Wert. Quadriere erst R und r, dann ziehe ab.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Kreisring hat R = 10 cm und r = 6 cm. Wie groß ist die Fläche? Runde auf ganze cm².
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 100 − 36.
Lösung ansehen
Lösung: 201
A = 3,14 · 64 cm² = 200,96 cm². Gerundet sind das 201 cm².
Frage 2 Ein Kreis mit r = 10 cm liegt in einem Quadrat mit der Seite 20 cm. Wie groß ist die Fläche zwischen Quadrat und Kreis in cm²? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
Quadrat: 20 · 20 = 400 cm². Kreis: 3,14 · 10 · 10.
Lösung ansehen
Lösung: 86
400 cm² − 314 cm² = 86 cm².
Frage 3 Ein Fenster ist ein Rechteck (4 dm breit, 6 dm hoch) mit einem Halbkreis oben (Durchmesser 4 dm). Wie groß ist die Fläche? Runde auf ganze dm².
Zeig mir den ersten Schritt
Rechteck 24 dm². Halbkreis: die Hälfte von 3,14 · 2 · 2.
Lösung ansehen
Lösung: 30
24 dm² + 6,28 dm² = 30,28 dm², gerundet 30 dm².
Frage 4 Eine Laufbahn hat zwei gerade Stücke von je 40 m und zwei Halbkreise mit dem Durchmesser 20 m. Wie lang ist eine Runde? Runde auf ganze m.
Zeig mir den ersten Schritt
Die zwei Halbkreise ergeben zusammen einen Kreis mit d = 20 m.
Lösung ansehen
Lösung: 143
2 · 40 m + 3,14 · 20 m = 80 m + 62,8 m = 142,8 m. Gerundet sind das 143 m.
Zeig mir den ersten Schritt
Wie berechnest du: große Fläche minus kleine Fläche?
Lösung ansehen
Lösung: π · (R² − r²)
Geschafft
Ein Kreisring hat die Fläche π · (R² − r²). Zusammengesetzte Figuren zerlegst du in Rechtecke, Kreise und Kreisteile.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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