Der Zinseszins
Du berechnest, wie ein Kapital wächst, wenn die Zinsen mitverzinst werden.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was Zinseszins bedeutet.
- Ich berechne das Kapital nach mehreren Jahren mit dem Faktor.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Zinsen für ein Jahr, Mehrere Veränderungen hintereinander
Bleibt das Geld mehrere Jahre auf dem Konto, werden die Zinsen im nächsten Jahr mitverzinst. Das heißt Zinseszins. Beispiel: 1000 € werden zu 3 % angelegt. Nach 1 Jahr: 1000 € · 1,03 = 1030 €. Nach 2 Jahren: 1030 € · 1,03 = 1060,90 €. Nach 3 Jahren: 1060,90 € · 1,03 = 1092,727 € ≈ 1092,73 €. Jedes Jahr multiplizierst du mit demselben Faktor 1,03. Nach n Jahren ist das Kapital K · 1,03 hoch n. Als Formel: Kapital nach n Jahren = Anfangskapital · q hoch n. Ohne Zinseszins wären es nur 1000 € + 3 · 30 € = 1090 €.
| Jahr | Rechnung | Kapital |
|---|---|---|
| 0 | 1000,00 € | |
| 1 | 1000 € · 1,03 | 1030,00 € |
| 2 | 1030 € · 1,03 | 1060,90 € |
| 3 | 1060,90 € · 1,03 | 1092,73 € |
500 € für 2 Jahre bei 4 %
- Aufgabe: 500 € werden 2 Jahre lang zu 4 % mit Zinseszins angelegt. Wie viel Euro sind es danach?
- Faktor: 1,04.
- Nach 1 Jahr: 500 € · 1,04 = 520 €.
- Nach 2 Jahren: 520 € · 1,04 = 540,80 €.
- Kurz: 500 € · 1,04 · 1,04 = 540,80 €.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Jedes Jahr: mal q.
Die Zinsen werden mitverzinst.
Nach n Jahren: K mal q hoch n.
Ein Beispiel
Du hast 100 € mit 10 % Zinsen. Nach einem Jahr sind es 110 €. Im zweiten Jahr bekommst du 10 % von 110 €, also 11 €. Du hast 121 €.
Schritt für Schritt
Wir rechnen 1000 € bei 10 % für 2 Jahre
- Aufgabe: 1000 € bei 10 % Zinsen, 2 Jahre, mit Zinseszins.
- Faktor: 1,1.
- Nach 1 Jahr: 1000 € · 1,1 = 1100 €.
- Nach 2 Jahren: 1100 € · 1,1 = 1210 €.
Mit einem Bild erklärt
| Jahr | Rechnung | Kapital |
|---|---|---|
| 0 | 1000 € | |
| 1 | 1000 € · 1,1 | 1100 € |
| 2 | 1100 € · 1,1 | 1210 € |
Zur Grundlage zurück
- Zinsen für ein Jahr – Ein Jahr Zinsen kennst du schon.
- Mehrere Veränderungen hintereinander – Zinseszins sind mehrere gleiche Zunahmen hintereinander.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
1000 € werden 2 Jahre lang zu 10 % mit Zinseszins angelegt. Wie viel Euro sind es danach?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 1000 · 1,1 · 1,1.
Lösung ansehen
Lösung: 1210
1000 · 1,1 = 1100. 1100 · 1,1 = 1210.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
2000 € werden 2 Jahre lang zu 10 % mit Zinseszins angelegt. Wie viel Euro sind es danach?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1,1. Du rechnest zweimal.
Lösung ansehen
Lösung: 2420
2000 · 1,1 = 2200. 2200 · 1,1 = 2420.
Tipp: Du kannst jedes Jahr einzeln rechnen oder den Faktor mehrfach nehmen. Für 3 Jahre ist das K · q · q · q. Der Taschenrechner hat dafür eine Potenz-Taste.
Merksatz: Zinseszins: Kapital nach n Jahren = K · q hoch n mit q = 1 + p/100.
Typischer Fehler: Viele rechnen: Zinsen mal Jahre. Dabei vergessen sie, dass die Zinsen im nächsten Jahr mitverzinst werden. Mit Zinseszins ist das Kapital etwas höher.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Wie oft multiplizierst du mit dem Faktor?
Lösung ansehen
Lösung: K · 1,03 · 1,03 · 1,03
Frage 2 100 € werden 2 Jahre lang zu 20 % mit Zinseszins angelegt. Wie viel Euro sind es danach?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1,2.
Lösung ansehen
Lösung: 144
100 · 1,2 = 120. 120 · 1,2 = 144.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Frage 4 800 € werden 2 Jahre lang zu 25 % mit Zinseszins angelegt. Wie viel Euro sind es danach?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1,25.
Lösung ansehen
Lösung: 1250
800 · 1,25 = 1000. 1000 · 1,25 = 1250.
Lösung ansehen
Lösung: K · q hoch n
Geschafft
Beim Zinseszins multiplizierst du das Kapital jedes Jahr mit demselben Faktor q.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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