Wie lange dauert es? Laufzeit durch Probieren
Du suchst die Anzahl der Jahre, bis ein Kapital ein Ziel erreicht, und nutzt dafür eine Tabelle.
Das lernst du heute
- Ich finde die Laufzeit durch systematisches Probieren.
- Ich erstelle eine Tabelle mit Formel im Rechenblatt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Zinseszins, Prozente in der Tabellenkalkulation
Bisher war die Zahl der Jahre gegeben. Jetzt ist sie gesucht. Beispiel: 1000 € werden zu 4 % mit Zinseszins angelegt. Nach wie vielen Jahren sind es mindestens 1200 €? Die Zahl der Jahre direkt auszurechnen ist schwierig. Deshalb probierst du systematisch: Nach 3 Jahren sind es 1000 € · 1,04 hoch 3 ≈ 1124,86 €. Nach 4 Jahren ≈ 1169,86 €. Nach 5 Jahren ≈ 1216,65 €. Das ist zum ersten Mal mehr als 1200 €. Antwort: nach 5 Jahren. Im Rechenblatt geht es schneller: In B2 steht 1000, in E1 steht 4 %. In B3 steht =B2*(1+$E$1). Du kopierst die Formel nach unten, jede Zeile ist ein Jahr.
| Zeile | Jahr (A) | Kapital (B) | Inhalt von B |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 1000,00 € | 1000 |
| 3 | 1 | 1040,00 € | =B2*(1+$E$1) |
| 4 | 2 | 1081,60 € | =B3*(1+$E$1) |
| 5 | 3 | 1124,86 € | =B4*(1+$E$1) |
| 6 | 4 | 1169,86 € | =B5*(1+$E$1) |
| 7 | 5 | 1216,65 € | =B6*(1+$E$1) |
Wann verdoppelt sich das Kapital?
- Aufgabe: 1000 € bei 5 % Zinseszins. Nach wie vielen Jahren sind es mindestens 2000 €?
- Probiere mit dem Faktor 1,05 hoch n.
- Nach 14 Jahren: 1000 € · 1,05 hoch 14 ≈ 1979,93 €. Das ist noch zu wenig.
- Nach 15 Jahren: 1000 € · 1,05 hoch 15 ≈ 2078,93 €. Das reicht.
- Antwort: nach 15 Jahren.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Probiere Jahr für Jahr.
Suche das erste Jahr, das reicht.
Im Rechenblatt: Formel nach unten kopieren.
Ein Beispiel
Du willst für 600 € sparen und hast 500 €. Bei 10 % Zinsen sind es nach 1 Jahr 550 €. Das reicht nicht. Nach 2 Jahren sind es 605 €. Das reicht.
Schritt für Schritt
Wir suchen die Laufzeit
- Aufgabe: 500 € bei 10 %. Nach wie vielen Jahren sind es mindestens 600 €?
- Nach 1 Jahr: 500 € · 1,1 = 550 €. Das reicht nicht.
- Nach 2 Jahren: 550 € · 1,1 = 605 €. Das reicht.
- Antwort: nach 2 Jahren.
Mit einem Bild erklärt
| Jahr | Kapital | mindestens 600 €? |
|---|---|---|
| 0 | 500 € | nein |
| 1 | 550 € | nein |
| 2 | 605 € | ja |
Zur Grundlage zurück
- Der Zinseszins – Das Wachstum mit dem Faktor kennst du schon.
- Prozente in der Tabellenkalkulation – Relative und absolute Zellbezüge hast du schon benutzt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
500 € bei 10 % Zinseszins. Nach wie vielen Jahren sind es zum ersten Mal mindestens 600 €?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne nach 1 Jahr, dann nach 2 Jahren.
Lösung ansehen
Lösung: 2
Nach 1 Jahr 550 €, nach 2 Jahren 605 €.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
2000 € bei 3 % Zinseszins. Nach wie vielen Jahren sind es zum ersten Mal mindestens 2200 €?
Zeig mir den ersten Schritt
Probiere mit 1,03 hoch 3 und 1,03 hoch 4.
Lösung ansehen
Lösung: 4
Nach 3 Jahren ≈ 2185,45 €. Nach 4 Jahren ≈ 2251,02 €. Erst das vierte Jahr reicht.
Tipp: Starte mit einem Schätzwert und prüfe das Ergebnis. Ist es zu klein, nimm ein Jahr mehr. Ist es zu groß, prüfe ein Jahr weniger. Suche das erste Jahr, das reicht.
Merksatz: Laufzeit gesucht: Prüfe Jahr für Jahr, ob K · q hoch n das Ziel erreicht. Das kleinste n, das reicht, ist die Antwort.
Typischer Fehler: Viele geben das letzte Jahr an, das noch nicht reicht. Gesucht ist das erste Jahr, in dem das Ziel erreicht ist. Prüfe immer auch das Jahr davor.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 100 € bei 10 % Zinseszins. Nach wie vielen Jahren sind es zum ersten Mal mindestens 150 €?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne Jahr für Jahr mit dem Faktor 1,1.
Lösung ansehen
Lösung: 5
Nach 4 Jahren 146,41 €. Nach 5 Jahren 161,05 €.
Frage 2 1000 € bei 5 % Zinseszins. Nach wie vielen Jahren sind es zum ersten Mal mindestens 1100 €?
Zeig mir den ersten Schritt
Nach 1 Jahr sind es 1050 €.
Lösung ansehen
Lösung: 2
Nach 2 Jahren 1102,50 €. Das reicht.
Zeig mir den ersten Schritt
Der Zinssatz muss beim Kopieren fest bleiben.
Lösung ansehen
Lösung: =B2*(1+$E$1)
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Die Laufzeit findest du durch systematisches Probieren. Eine Tabelle im Rechenblatt hilft. Gesucht ist das erste Jahr, das reicht.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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