Wachstum und Zerfall
Ist der Faktor größer als 1, wächst der Wert. Ist er kleiner als 1, nimmt der Wert ab. Du rechnest Prozentangaben in Faktoren um.
Das lernst du heute
- Ich unterscheide Wachstum und Zerfall am Faktor.
- Ich rechne Prozent in einen Faktor um.
- Ich berechne Werte nach mehreren Schritten.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Wachstumsfaktor bei Abnahme, Die Funktion y = a · bˣ
Bei f(x) = a · bˣ entscheidet der Faktor b über den Verlauf.
Ist b > 1, wächst der Wert: Das ist exponentielles Wachstum. Ist 0 < b < 1, nimmt der Wert ab: Das ist exponentieller Zerfall.
Prozentangaben passen dazu: 10 % Zunahme bedeutet den Faktor 1,1. 25 % Abnahme bedeutet den Faktor 0,75. Allgemein gilt b = 1 + p/100 bei Zunahme und b = 1 − p/100 bei Abnahme.
Beispiel (ausgedacht): Ein Schaumberg ist 64 cm hoch und wird jede Minute nur halb so hoch. Die Höhen sind 64, 32, 16, 8, 4, 2 cm. Der Faktor ist 0,5. Die Höhe wird immer kleiner, erreicht aber nie genau 0.
| Minute | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Höhe in cm (Faktor 0,5) | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 |
Wertverlust eines Autos (ausgedachte Zahlen)
- Neuwert: 20 000 €. Jedes Jahr 10 % weniger.
- Faktor: 1 − 0,10 = 0,9.
- Nach 1 Jahr: 20 000 · 0,9 = 18 000 €.
- Nach 4 Jahren: 20 000 · 0,9⁴ = 20 000 · 0,6561 = 13 122 €.
- Antwort: Nach 4 Jahren ist das Auto noch 13 122 € wert.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Faktor über 1: der Wert wird größer.
Faktor zwischen 0 und 1: der Wert wird kleiner.
20 % weniger: 100 % − 20 % = 80 %, also 0,8.
Ein Beispiel
Ein Wert wird jedes Jahr um 10 % größer. Du rechnest mit 1,1. Wird er jedes Jahr um 10 % kleiner, rechnest du mit 0,9.
Schritt für Schritt
Wir berechnen 500 € mit 20 % Abnahme pro Jahr
- Faktor: 1 − 0,2 = 0,8.
- Nach 1 Jahr: 500 € · 0,8 = 400 €.
- Nach 2 Jahren: 400 € · 0,8 = 320 €.
- Kurz: 500 · 0,8² = 500 · 0,64 = 320.
Mit einem Bild erklärt
| Jahr | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Wert in € | 500 | 400 | 320 |
Zur Grundlage zurück
- Der Wachstumsfaktor bei Abnahme – Den Faktor bei Abnahme kennst du aus der Prozentrechnung.
- Die Funktion y = a · bˣ – Hier hast du f(x) = a · bˣ kennengelernt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Wert von 1 000 € steigt jedes Jahr um 10 %. Wie viel Euro sind es nach 3 Jahren?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1,1. Rechne 1 000 · 1,1 · 1,1 · 1,1.
Lösung ansehen
Lösung: 1331
1 000 · 1,1³ = 1 000 · 1,331 = 1 331 €.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Wert von 500 € sinkt jedes Jahr um 20 %. Wie viel Euro sind es nach 2 Jahren?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1 − 0,2 = 0,8.
Lösung ansehen
Lösung: 320
500 · 0,8² = 500 · 0,64 = 320 €.
Tipp: Schreibe zuerst den Faktor auf. Prüfe dann: Soll der Wert wachsen, muss der Faktor über 1 liegen.
Merksatz: Zunahme um p %: Faktor 1 + p/100. Abnahme um p %: Faktor 1 − p/100. Faktor über 1: Wachstum. Faktor zwischen 0 und 1: Zerfall.
Typischer Fehler: Viele nehmen bei 20 % Abnahme den Faktor 0,2. Das wäre eine Abnahme um 80 %. Der richtige Faktor ist 0,8, denn 100 % − 20 % = 80 %.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 0,75
Frage 2 Ein Wert von 2 000 wird bei jedem Schritt halbiert (Faktor 0,5). Wie groß ist er nach 3 Schritten?
Zeig mir den ersten Schritt
2 000 · 0,5 = 1 000. Dann noch zweimal halbieren.
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Lösung: 250
2 000 · 0,5³ = 2 000 · 0,125 = 250.
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Lösung: Der Wert nimmt ab, weil der Faktor unter 1 liegt.
Frage 4 Ein Wert von 8 000 steigt jedes Jahr um 50 %. Wie groß ist er nach 2 Jahren?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 1,5.
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Lösung: 18000
8 000 · 1,5² = 8 000 · 2,25 = 18 000.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Der Faktor zeigt, ob etwas wächst oder zerfällt. Prozentangaben rechnest du mit 1 ± p/100 in einen Faktor um.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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