Potenzen: Basis und Exponent
Eine Potenz ist ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren. Du liest sie, rechnest sie aus und kommst auch mit negativen Basen zurecht.
Das lernst du heute
- Ich nenne Basis und Exponent einer Potenz.
- Ich rechne Potenzen mit kleinen Zahlen aus.
- Ich unterscheide 2⁵ von 2 · 5.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Potenzen: kurz geschrieben, Multiplizieren und dividieren
2 · 2 · 2 · 2 · 2 ist lang zu schreiben. Kürzer geht es als Potenz: 2⁵. Die untere Zahl heißt Basis. Sie ist der Faktor, der sich wiederholt. Die hochgestellte Zahl heißt Exponent. Sie sagt, wie oft die Basis als Faktor steht. Der Wert von 2⁵ ist 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Bei der Basis 10 ist es besonders einfach: 10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen. So ist 10⁴ = 10 000. Auch negative Basen sind möglich. Setze sie in Klammern: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8. Bei einem geraden Exponenten wird das Ergebnis positiv: (−2)⁴ = 16.
| Potenz | ausgeschrieben | Wert |
|---|---|---|
| 2³ | 2 · 2 · 2 | 8 |
| 3⁴ | 3 · 3 · 3 · 3 | 81 |
| 5² | 5 · 5 | 25 |
| 10⁵ | 10 · 10 · 10 · 10 · 10 | 100 000 |
| (−2)³ | (−2) · (−2) · (−2) | −8 |
| (−2)⁴ | (−2) · (−2) · (−2) · (−2) | 16 |
5⁴ ausrechnen
- 5⁴ heißt: 5 steht viermal als Faktor.
- 5 · 5 = 25.
- 25 · 5 = 125.
- 125 · 5 = 625.
- Also ist 5⁴ = 625.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Eine Potenz sagt: Diese Zahl steht mehrmals als Faktor.
2³ heißt 2 · 2 · 2.
Die kleine, hochgestellte Zahl zählt, wie oft.
Ein Beispiel
Du faltest ein Blatt Papier mehrmals. Jedes Falten verdoppelt die Lagen: 2, 4, 8, 16. Nach vier Faltungen sind es 2⁴ = 16 Lagen.
Schritt für Schritt
Wir rechnen 3⁴
- 3⁴ heißt: 3 steht viermal als Faktor.
- 3 · 3 = 9.
- 9 · 3 = 27.
- 27 · 3 = 81.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| 3² | 3 · 3 = 9 |
| 3³ | 9 · 3 = 27 |
| 3⁴ | 27 · 3 = 81 |
Zur Grundlage zurück
- Potenzen: kurz geschrieben – Potenzen kennst du schon. Hier wiederholst du sie und erweiterst sie.
- Multiplizieren und dividieren – Für negative Basen brauchst du das Rechnen mit Vorzeichen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Rechne 2⁵ aus. Das heißt 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 2 = 4. Dann immer weiter mal 2.
Lösung ansehen
Lösung: 32
4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Rechne 5³ aus.
Zeig mir den ersten Schritt
5 · 5 = 25. Dann noch einmal mal 5.
Lösung ansehen
Lösung: 125
25 · 5 = 125.
Tipp: Rechne in kleinen Schritten. Multipliziere immer nur zwei Zahlen auf einmal.
Merksatz: Potenz: Basis hoch Exponent. Der Exponent zählt, wie oft die Basis als Faktor steht. 10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen.
Typischer Fehler: Viele rechnen 2⁵ als 2 · 5 = 10. Der Exponent ist aber kein Faktor. Er zählt die Faktoren: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Auch beim Minuszeichen passiert oft ein Fehler: −2² ist −4, aber (−2)² ist 4. Ohne Klammer wird nur die 2 quadriert.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 4 · 4 · 4
Frage 2 Wie viele Nullen hat 10⁶, wenn du es ausschreibst?
Zeig mir den ersten Schritt
10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen.
Lösung ansehen
Lösung: 6
10⁶ = 1 000 000. Das sind 6 Nullen.
Frage 3 Rechne (−2)³ aus.
Zeig mir den ersten Schritt
(−2) · (−2) = 4. Dann mal (−2).
Lösung ansehen
Lösung: -8
4 · (−2) = −8.
Lösung ansehen
Lösung: 2⁷
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du liest Potenzen als Produkte gleicher Faktoren und rechnest sie aus.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Potenzen und Zehnerpotenzen
Kurz erklärt, 52 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen