Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Du kennst die Seitenhalbierenden, den Schwerpunkt und das Teilungsverhältnis 2 zu 1.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe die Seitenhalbierende.
- Ich nutze, dass der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 zu 1 teilt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Mittelsenkrechte konstruieren, Abstände messen
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende. Sie schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt. Wenn du ein Dreieck aus Pappe auf der Fingerspitze im Punkt S balancierst, fällt es nicht herunter. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 zu 1. Von der Ecke bis S sind es zwei Drittel, von S bis zur Seitenmitte ein Drittel. Beispiel: A(0|0), B(6|0), C(3|6). Die Mitte von AB ist M(3|0). Die Seitenhalbierende von C nach M ist 6 lang. S liegt bei (3|2). Es ist CS = 4 und SM = 2. Das ist 2 zu 1. Außerdem teilt jede Seitenhalbierende das Dreieck in zwei gleich große Flächen: Beide Teile haben die Fläche 9, das ganze Dreieck hat 18.
Die Teilung 2 zu 1 nutzen
- Aufgabe: Eine Seitenhalbierende ist 9 cm lang. Wie weit ist der Schwerpunkt S von der Ecke und von der Seitenmitte entfernt?
- Von der Ecke bis S: zwei Drittel von 9 cm = 6 cm.
- Von S bis zur Seitenmitte: ein Drittel von 9 cm = 3 cm.
- Probe: 6 cm + 3 cm = 9 cm. Das Verhältnis ist 6 zu 3, also 2 zu 1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ecke zur Seitenmitte.
Drei schneiden sich im Schwerpunkt.
Stück zur Ecke: zwei Drittel.
Ein Beispiel
Ein dreieckiges Brett lässt sich im Schwerpunkt auf einer Spitze balancieren. Die Spitze liegt auf zwei Dritteln jeder Seitenhalbierenden.
Schritt für Schritt
Mit 2 zu 1 rechnen
- Miss oder berechne die ganze Länge der Seitenhalbierenden.
- Teile sie in 3 gleiche Teile.
- Von der Ecke aus gehören 2 Teile zu S.
- Das letzte Teil führt zur Seitenmitte.
Mit einem Bild erklärt
| ganze Länge | Ecke bis S | S bis Seitenmitte |
|---|---|---|
| 9 cm | 6 cm | 3 cm |
| 6 cm | 4 cm | 2 cm |
| 12 cm | 8 cm | 4 cm |
Zur Grundlage zurück
- Die Mittelsenkrechte konstruieren – Mit der Mittelsenkrechten findest du die Seitenmitte.
- Abstände messen – Abstände misst du senkrecht.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Seitenhalbierende ist 9 cm lang. Wie weit ist die Ecke vom Schwerpunkt entfernt (in cm)?
Zeig mir den ersten Schritt
Berechne zwei Drittel von 9 cm.
Lösung ansehen
Lösung: 6
9 : 3 · 2 = 6 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Der Schwerpunkt ist 8 cm von einer Ecke entfernt. Wie lang ist die ganze Seitenhalbierende in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
8 cm sind zwei Drittel der ganzen Länge.
Lösung ansehen
Lösung: 12
Ein Drittel sind 4 cm. Das Ganze sind 12 cm.
Tipp: Konstruiere die Seitenmitte mit der Mittelsenkrechten. So brauchst du keine Messung. Zwei Seitenhalbierende genügen, um S zu finden. In einer Geometriesoftware siehst du, dass S immer im Innern bleibt, wie du das Dreieck auch verformst.
Merksatz: Seitenhalbierende: Ecke zur Mitte der Gegenseite. Die drei schneiden sich im Schwerpunkt S. S teilt jede im Verhältnis 2 zu 1 (Ecke bis S ist zwei Drittel).
Typischer Fehler: Viele halten die Seitenhalbierende für senkrecht zur Seite. Sie geht durch die Mitte der Seite, steht aber nur in besonderen Dreiecken senkrecht. Außerdem teilt S die Linie nicht in der Mitte, sondern 2 zu 1.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Wie viele gleiche Teile gibt es?
Lösung ansehen
Lösung: 2 zu 1
Frage 2 Der Schwerpunkt ist 3 cm von der Seitenmitte entfernt. Wie weit ist er von der Ecke entfernt (in cm)?
Zeig mir den ersten Schritt
Das Stück bei der Ecke ist doppelt so lang.
Lösung ansehen
Lösung: 6
2 · 3 cm = 6 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 A(0|0), B(6|0), C(3|6). Welche y-Koordinate hat der Schwerpunkt?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Schwerpunkt liegt bei ein Drittel der Höhe über der Seite AB.
Lösung ansehen
Lösung: 2
y = (0 + 0 + 6) : 3 = 2.
Geschafft
Die Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite. Alle drei schneiden sich im Schwerpunkt, der sie 2 zu 1 teilt.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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