Wo sich zwei Geraden schneiden
Am Schnittpunkt haben zwei Geraden denselben x- und y-Wert. Du findest ihn zeichnerisch und durch Rechnen.
Das lernst du heute
- Ich lese den Schnittpunkt zweier Geraden am Graphen ab.
- Ich berechne ihn durch Gleichsetzen.
- Ich deute den Schnittpunkt in einer Situation.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Tarife vergleichen, Schritt für Schritt umformen
Zwei Geraden schneiden sich, wo sie denselben y-Wert zum selben x haben. Zeichnest du y = 2x + 1 und y = −x + 7, siehst du den Schnittpunkt bei (2|5). Du kannst ihn auch berechnen. Setze die rechten Seiten gleich: 2x + 1 = −x + 7. Löse nach x: Mit | + x folgt 3x + 1 = 7, mit | − 1 folgt 3x = 6 und mit | : 3 folgt x = 2. Setze x = 2 in eine Funktion ein: y = 2 · 2 + 1 = 5. Der Schnittpunkt ist (2|5). Bei den Studios A und B ist 2x + 15 = 4x + 5 und der Schnittpunkt (5|25). Das heißt: Bei 5 Besuchen kosten beide 25 Euro.
Schnittpunkt durch Gleichsetzen
- Gleichung 1: y = 2x + 1. Gleichung 2: y = −x + 7.
- Gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7.
- | + x: 3x + 1 = 7. | − 1: 3x = 6. | : 3: x = 2.
- y einsetzen: y = 2 · 2 + 1 = 5.
- Probe in Gleichung 2: −2 + 7 = 5. Stimmt.
- Schnittpunkt: (2|5).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Beide Geraden haben im Schnittpunkt dasselbe y.
Setze die beiden Terme gleich.
Löse nach x. Dann setze x ein.
Ein Beispiel
Zwei Kinder laufen auf einer Strecke. Das eine startet 10 m weiter vorn, das andere läuft schneller. Der Schnittpunkt zeigt, wann sie gleichauf sind.
Schritt für Schritt
Wir gleichen die Studio-Tarife ab
- A: y = 2x + 15. B: y = 4x + 5.
- Gleichsetzen: 2x + 15 = 4x + 5.
- | − 2x: 15 = 2x + 5. | − 5: 10 = 2x. | : 2: x = 5.
- y: 2 · 5 + 15 = 25.
- Schnittpunkt (5|25).
Mit einem Bild erklärt
| x | A: 2x + 15 | B: 4x + 5 |
|---|---|---|
| 5 | 25 | 25 |
Zur Grundlage zurück
- Tarife vergleichen – Zwei Tarife hast du schon verglichen.
- Schritt für Schritt umformen – Gleichungen mit x auf beiden Seiten löst du dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse 2x + 1 = −x + 7. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
| + x, dann | − 1, dann | : 3.
Lösung ansehen
Lösung: 2
3x = 6, also x = 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Geraden y = 2x + 1 und y = −x + 7 schneiden sich bei x = 2. Wie groß ist y?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 2 in y = 2x + 1 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 5
y = 2 · 2 + 1 = 5.
Tipp: Prüfe das Ergebnis in beiden Gleichungen. Nur wenn beide stimmen, ist es der Schnittpunkt.
Merksatz: Schnittpunkt: gleiche y-Werte → rechte Seiten gleichsetzen → x berechnen → y einsetzen.
Typischer Fehler: Viele vergessen, y auszurechnen, und geben nur x an. Ein Schnittpunkt braucht beide Koordinaten.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (2|5)
Frage 2 Löse 3x + 2 = x + 10. Wie groß ist x?
Zeig mir den ersten Schritt
| − x, dann | − 2, dann | : 2.
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Lösung: 4
2x = 8, also x = 4.
Frage 3 Studio A: y = 2x + 15, Studio B: y = 4x + 5. Bei welcher Besuchszahl kosten sie gleich viel?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse 2x + 15 = 4x + 5.
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Lösung: 5
10 = 2x, also x = 5. Kosten: 25 Euro.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du findest Schnittpunkte zeichnerisch und rechnerisch.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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