Trigonometrie im Alltag: Höhen und Steigungen
Mit Winkel und Abstand findest du Höhen, die du nicht messen kannst. Steigungen in Prozent hängen eng mit dem Tangens zusammen.
Das lernst du heute
- Ich berechne Höhen aus Abstand und Blickwinkel.
- Ich rechne Steigung in Prozent und Steigungswinkel ineinander um.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Winkel berechnen
Eine Höhe kann man oft nicht direkt messen, zum Beispiel bei einem Baum. Du misst stattdessen den Abstand zum Baum und den Winkel, unter dem du die Spitze siehst. Die Höhe über deinen Augen ist die Gegenkathete des Blickwinkels. Der Abstand ist die Ankathete. Also gilt: Höhe = Abstand · tan α.
Bei Straßen und Rampen gibt man die Steigung oft in Prozent an. 10 % bedeutet: Auf 100 m waagerecht steigt die Straße um 10 m. Das ist der Tangens: tan α = 0,10. Der Steigungswinkel ist also α = tan⁻¹(0,10) ≈ 5,7°.
Eine Steigung von 100 % bedeutet 45°, denn tan 45° = 1.
| Steigung | tan α | Winkel α |
|---|---|---|
| 10 % | 0,10 | etwa 5,7° |
| 12 % | 0,12 | etwa 6,8° |
| 50 % | 0,50 | etwa 26,6° |
| 100 % | 1,00 | 45° |
Die Höhe eines Baumes
- Abstand zum Baum: 20 m. Blickwinkel zur Spitze: 35°. Die Augen sind 1,6 m über dem Boden.
- Höhe über den Augen: 20 · tan 35° ≈ 20 · 0,700 = 14,0 m.
- Dazu kommt die Augenhöhe: 14,0 m + 1,6 m = 15,6 m.
- Der Baum ist etwa 15,6 m hoch.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Du stehst vor einem Turm.
Du misst den Abstand und den Winkel.
Höhe = Abstand mal tan α.
Ein Beispiel
Eine Straße hat 8 % Steigung. Auf 250 m Länge in der Waagerechten steigt sie um 250 · 0,08 = 20 m.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Höhe, die eine Leiter erreicht
- Eine Leiter ist 4 m lang und steht unter 75° zum Boden.
- Die Leiter ist die Hypotenuse. Die Höhe ist die Gegenkathete des Winkels am Boden.
- Höhe = 4 · sin 75° ≈ 4 · 0,966 = 3,86 m.
- Der Fuß der Leiter steht 4 · cos 75° ≈ 1,04 m von der Wand entfernt.
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- Winkel berechnen – Hier berechnest du Seiten und Winkel wie dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Straße hat 6 % Steigung. Wie viele Meter steigt sie auf 500 m in der Waagerechten?
Zeig mir den ersten Schritt
6 % sind 0,06. Multipliziere mit 500.
Lösung ansehen
Lösung: 30
500 · 0,06 = 30 m.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Du stehst 30 m von einem Turm entfernt und siehst die Spitze unter 45° über Augenhöhe. Wie hoch ist der Turm über deinen Augen in m?
Zeig mir den ersten Schritt
Höhe = Abstand · tan 45°.
Lösung ansehen
Lösung: 30
tan 45° = 1. Also 30 · 1 = 30 m.
Tipp: Vergiss nicht die Augenhöhe. Du misst den Winkel auf Augenhöhe, nicht am Boden.
Merksatz: Höhe = Abstand · tan α. Steigung in Prozent = tan α · 100 %. 100 % entsprechen 45°.
Typischer Fehler: Viele meinen, 10 % Steigung seien 10°. Das stimmt nicht. 10 % entsprechen nur etwa 5,7°. Steigung in Prozent und Winkel in Grad sind verschiedene Angaben.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Eine Leiter ist 6 m lang und steht unter 30° zum Boden. Wie hoch reicht sie in m?
Zeig mir den ersten Schritt
Höhe = Länge · sin α. Es gilt sin 30° = 0,5.
Lösung ansehen
Lösung: 3
6 · 0,5 = 3 m.
Lösung ansehen
Lösung: 45°
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Eine Rampe ist waagerecht gemessen 20 m lang und hat 5 % Steigung. Wie viele Meter steigt sie?
Zeig mir den ersten Schritt
5 % sind 0,05. Multipliziere mit 20.
Lösung ansehen
Lösung: 1
20 · 0,05 = 1 m.
Lösung ansehen
Lösung: etwa 15,6 m
Geschafft
Mit dem Tangens berechnest du Höhen aus Abstand und Winkel. Eine Steigung in Prozent ist der Tangens mal 100.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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