Der Kosinussatz
Der Kosinussatz berechnet eine Seite in jedem Dreieck, wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen bekannt sind. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras.
Das lernst du heute
- Ich wende den Kosinussatz an, um eine Seite zu berechnen.
- Ich berechne einen Winkel, wenn alle drei Seiten bekannt sind.
- Ich erkläre den Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Pythagoras in Figuren, Körpern und im Alltag, Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse gelten nur im rechtwinkligen Dreieck. Viele Dreiecke haben aber keinen rechten Winkel. Für sie gibt es den Kosinussatz.
Die Seiten heißen a, b und c. Der Winkel γ liegt zwischen a und b. Er liegt der Seite c gegenüber. Dann gilt: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ.
Bei γ = 90° ist cos γ = 0. Dann bleibt c² = a² + b². Das ist der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz ist also eine Verallgemeinerung. Der letzte Teil, −2 · a · b · cos γ, ist eine Korrektur. Er berücksichtigt, dass γ kein rechter Winkel ist.
Eine Seite berechnen
- Gegeben: a = 5, b = 8 und γ = 60°. Gesucht ist c.
- c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60°.
- cos 60° = 0,5, also c² = 25 + 64 − 40 = 49.
- c = √49 = 7.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
Der Kosinussatz gilt bei jedem Winkel.
Bei 90° ist cos γ gleich 0.
Ein Beispiel
Zwei Wege gehen von einem Punkt aus. Sie sind 5 km und 8 km lang. Zwischen ihnen liegt ein Winkel von 60°. Die Endpunkte sind dann 7 km voneinander entfernt.
Schritt für Schritt
Wir berechnen einen Winkel aus drei Seiten
- Gegeben: a = 5, b = 8 und c = 7. Gesucht ist γ.
- Stelle den Kosinussatz um: cos γ = (a² + b² − c²) : (2 · a · b).
- cos γ = (25 + 64 − 49) : 80 = 40 : 80 = 0,5.
- γ = cos⁻¹(0,5) = 60°.
Mit einem Bild erklärt
| Schritt | Rechnung |
|---|---|
| Formel | cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab) |
| Einsetzen | (25 + 64 − 49) : 80 |
| Ergebnis | cos γ = 0,5, also γ = 60° |
Zur Grundlage zurück
- Pythagoras in Figuren, Körpern und im Alltag – Der Satz des Pythagoras ist der Spezialfall.
- Sinus, Kosinus und Tangens – Den Kosinus kennst du von dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Im Dreieck sind a = 3, b = 4 und γ = 90°. Es gilt cos 90° = 0. Wie lang ist c?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze in c² = a² + b² − 2ab · cos γ ein. Der letzte Teil wird 0.
Lösung ansehen
Lösung: 5
c² = 9 + 16 = 25. Also c = 5.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Im Dreieck sind a = 10, b = 10 und γ = 60°. Wie lang ist c? Es gilt cos 60° = 0,5.
Zeig mir den ersten Schritt
c² = 100 + 100 − 2 · 10 · 10 · 0,5.
Lösung ansehen
Lösung: 10
c² = 200 − 100 = 100. Also c = 10. Das Dreieck ist gleichseitig.
Tipp: Prüfe, ob der Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegt. Er muss der gesuchten Seite gegenüberliegen.
Merksatz: Kosinussatz: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ. Bei γ = 90° wird daraus der Satz des Pythagoras.
Typischer Fehler: Viele vergessen am Ende die Wurzel. Die Formel liefert zuerst c², nicht c. Ziehe zum Schluss die Wurzel.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Im Dreieck sind a = 3, b = 5 und γ = 120°. Es gilt cos 120° = −0,5. Wie lang ist c?
Zeig mir den ersten Schritt
Der letzte Teil wird 2 · 3 · 5 · (−0,5) = −15. Davor steht ein Minus: − (−15) = + 15.
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Lösung: 7
c² = 9 + 25 + 15 = 49. Also c = 7.
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Lösung: wenn γ = 90° ist
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Ein Dreieck hat die Seiten a = 6, b = 7 und den Winkel γ = 50° dazwischen. Es gilt c² ≈ 31,0. Wie lang ist c, gerundet auf ganze Einheiten?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe die Wurzel aus 31,0.
Lösung ansehen
Lösung: 6
√31,0 ≈ 5,57. Gerundet sind das 6.
Frage 5 Ein Dreieck hat die Seiten 7, 8 und 9. Wie groß ist der Winkel gegenüber der Seite 9, gerundet auf ganze Grad? Es gilt cos γ = (49 + 64 − 81) : 112.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne zuerst 49 + 64 − 81 = 32 und 32 : 112.
Lösung ansehen
Lösung: 73
cos γ ≈ 0,2857. Mit der Umkehrtaste ergibt sich γ ≈ 73,4°. Gerundet sind das 73°.
Geschafft
Der Kosinussatz berechnet eine Seite aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen. Umgestellt liefert er auch einen Winkel aus drei Seiten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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