Steigung und Steigungsdreieck
Die Steigung m sagt, wie steil eine Gerade ist. Du bestimmst sie mit einem Steigungsdreieck.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was die Steigung m ist.
- Ich zeichne ein Steigungsdreieck.
- Ich berechne m aus zwei Punkten.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Lineare Funktionen: y = m · x + b
Die Steigung m sagt, um wie viel y wächst, wenn x um 1 größer wird. Auf einer Geraden kannst du zwei Punkte wählen. Gehe vom linken zum rechten Punkt: erst waagerecht um Δx, dann senkrecht um Δy. Das Zeichen Δ (sprich: Delta) bedeutet „Unterschied“: Δx ist der Unterschied der x-Werte, Δy der Unterschied der y-Werte. Das ist das Steigungsdreieck. Dann gilt m = Δy : Δx. Der Graph unten geht durch (0|1) und (2|5). Es ist Δx = 2 und Δy = 4. Also m = 4 : 2 = 2. Wenn die Gerade nach unten geht, ist Δy negativ, also m negativ.
Die Steigung berechnen
- Punkte: (1|2) und (3|6).
- Nach rechts: Δx = 3 − 1 = 2.
- Nach oben: Δy = 6 − 2 = 4.
- m = 4 : 2 = 2.
- Probe: Bei x + 1 steigt y um 2.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Steigung heißt: Wie steil geht es hoch?
Gehe 1 nach rechts.
Wie viel geht es hoch oder runter? Das ist m.
Ein Beispiel
Eine Rampe steigt auf 2 m waagerechter Strecke um 1 m an. Dann gilt m = 1 : 2 = 0,5. Je größer m, desto steiler die Rampe.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen m für die Punkte (0|4) und (2|0)
- Von links nach rechts: erst (0|4), dann (2|0).
- Δx = 2 − 0 = 2.
- Δy = 0 − 4 = −4. Es geht nach unten.
- m = −4 : 2 = −2.
Mit einem Bild erklärt
| x | y | |
|---|---|---|
| Punkt 1 | 0 | 4 |
| Punkt 2 | 2 | 0 |
| Unterschied | Δx = 2 | Δy = −4 |
Zur Grundlage zurück
- Lineare Funktionen: y = m · x + b – Du weißt schon, was m in y = m · x + b ist.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Die Gerade geht durch (0|1) und (3|7). Wie groß ist m?
Zeig mir den ersten Schritt
Δx = 3, Δy = 6.
Lösung ansehen
Lösung: 2
m = 6 : 3 = 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Gerade geht durch (1|5) und (3|1). Wie groß ist m?
Zeig mir den ersten Schritt
Δx = 2. Δy = 1 − 5.
Lösung ansehen
Lösung: -2
Δy = −4, also m = −4 : 2 = −2.
Tipp: Gehe immer von links nach rechts. Dann ist Δx positiv, und das Vorzeichen von Δy zeigt dir die Richtung.
Merksatz: Steigung m = Δy : Δx. Nach oben ist positiv, nach unten negativ.
Typischer Fehler: Viele rechnen Δx : Δy statt Δy : Δx. Merke: Erst nach rechts, dann hoch oder runter. Die Höhe kommt in den Zähler.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Die Gerade geht durch (−2|−1) und (2|1). Wie groß ist m? Schreibe als Dezimalzahl.
Zeig mir den ersten Schritt
Δx = 2 − (−2) = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 0,5
Δy = 1 − (−1) = 2. m = 2 : 4 = 0,5.
Lösung ansehen
Lösung: m ist positiv
Frage 3 Eine Gerade geht durch (0|2) und (4|5). Wie groß ist m? Schreibe als Dezimalzahl.
Zeig mir den ersten Schritt
Δy = 3, Δx = 4.
Lösung ansehen
Lösung: 0,75
m = 3 : 4 = 0,75.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Lösung ansehen
Lösung: m = 3
Geschafft
Du bestimmst die Steigung mit dem Steigungsdreieck oder mit m = Δy : Δx.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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