Warum neue Zahlen?
Mit den bisherigen Zahlen kannst du nicht jede Aufgabe lösen. Rationale Zahlen schließen diese Lücken.
Das lernst du heute
- Ich weiß, warum man negative Zahlen und Brüche als Zahlen braucht.
- Ich kann ganze und rationale Zahlen unterscheiden.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Zahlengerade
Mit den natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 … kannst du zählen. Sie reichen nicht immer. Beispiel: Du hast 3 € und musst 5 € zahlen. Dir fehlen 2 €. Das rechnest du als 3 − 5 = −2. Dafür brauchst du negative Zahlen. Natürliche Zahlen und ihre negativen Gegenstücke heißen ganze Zahlen. Auch das Teilen führt aus den ganzen Zahlen heraus: 1 : 2 ist keine ganze Zahl, sondern ein halb. So entstehen die rationalen Zahlen. Das sind alle Zahlen, die du als Bruch schreiben kannst, auch negative: drei Viertel, −ein halb, 0,25 oder 5.
| Zahlenart | Beispiele | Das wird möglich |
|---|---|---|
| natürliche Zahlen | 0, 1, 2, 3 | zählen, addieren, malnehmen |
| ganze Zahlen | −3, 0, 4 | 3 − 5 = −2 |
| rationale Zahlen | −ein halb, 0,75, −2,5 | 1 : 2 = ein halb |
Wenn Zahlen nicht reichen
- Aufgabe: Auf dem Konto sind 3 €. Du zahlst 5 €.
- 3 − 3 = 0. Dir fehlen noch 2 €.
- Das Konto steht auf −2 €.
- Also: 3 − 5 = −2.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Natürliche Zahlen zählen.
Ganze Zahlen brauchst du für Schulden und Kälte.
Brüche brauchst du zum Teilen.
Ein Beispiel
Es hat −3 °C. Das ist kälter als 0 °C. Eine halbe Pizza ist ein halb. Beides sind Zahlen, die du mit natürlichen Zahlen allein nicht schreiben kannst.
Schritt für Schritt
Wir lösen 4 − 7
- Aufgabe: 4 € auf dem Konto, 7 € werden abgebucht.
- 4 € sind weg, dann fehlen noch 3 €.
- Das Konto steht auf −3 €.
- Also: 4 − 7 = −3.
Mit einem Bild erklärt
| Zahlen | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| natürlich | 4 − 7 | geht nicht |
| ganz | 4 − 7 | −3 |
Zur Grundlage zurück
- Die Zahlengerade – Negative Zahlen kennst du von der Zahlengeraden.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne jede Aufgabe aus. Welches Ergebnis ist kleiner als 0?
Lösung ansehen
Lösung: 2 − 6
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Du hast 4 € und zahlst 7 €. Wie viel zeigt das Konto? Schreibe die Zahl mit Vorzeichen.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 4 − 7. Es fehlen Euro.
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Lösung: -3
4 − 7 = −3. Das Konto steht auf −3 €.
Tipp: Frage dich: Welche Aufgabe kann ich mit den bisherigen Zahlen nicht lösen? Genau dafür gibt es die nächste Zahlenart.
Merksatz: Natürliche Zahlen → ganze Zahlen (mit Minus) → rationale Zahlen (Brüche und Dezimalzahlen, auch negativ). Jede ganze Zahl ist auch rational: 4 = vier 1tel.
Typischer Fehler: Viele denken, −2 sei keine echte Zahl, weil man sie nicht abzählen kann. Sie ist aber eine Zahl wie 2, nur auf der anderen Seite der Null.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: drei Viertel
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Lösung: Stimmt
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Lösung: ganze Zahlen
Frage 4 1 : 4 ist keine ganze Zahl. Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl.
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 1,00 durch 4.
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Lösung: 0,25
1 : 4 = 0,25 = ein Viertel.
Geschafft
Du weißt, warum es ganze und rationale Zahlen gibt und wie sie zusammenhängen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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