Pythagoras in Figuren, Körpern und im Alltag
Überall, wo ein rechter Winkel steckt, hilft der Satz: im Rechteck, im gleichschenkligen Dreieck, im Quader, im Koordinatensystem und im Alltag.
Das lernst du heute
- Ich finde rechtwinklige Dreiecke in Figuren und Körpern.
- Ich berechne Diagonalen, Höhen und Abstände.
- Ich bewerte mein Ergebnis und meinen Lösungsweg.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Ist das Dreieck rechtwinklig?, Konstruieren mit Zirkel und Lineal
Der Satz des Pythagoras hilft überall, wo ein rechter Winkel steckt. Rechteck: Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bei einem Rechteck mit 12 cm und 5 cm ist die Diagonale d = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm. Gleichschenkliges Dreieck: Die Höhe teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bei der Basis 10 cm und den Schenkeln 13 cm ist die Höhe h = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Quader: Rechne in zwei Schritten. Beim Quader mit 3 cm, 4 cm und 12 cm ist die Flächendiagonale der Grundfläche √(3² + 4²) = 5 cm. Die Raumdiagonale ist dann √(5² + 12²) = 13 cm. Koordinatensystem: Die Punkte A(1|1) und B(5|4) liegen 4 Einheiten waagerecht und 3 Einheiten senkrecht auseinander. Der Abstand ist √(4² + 3²) = 5. Zum Schluss prüfst du dein Ergebnis. Ist es größer als jede Kathete? Passt die Einheit? Ist die Größe sinnvoll?
Abkürzung über ein Feld
- Das Feld ist 40 m lang und 30 m breit.
- Am Rand entlang gehst du 40 m + 30 m = 70 m.
- Quer über das Feld: d = √(40² + 30²).
- 40² = 1600 und 30² = 900. Die Summe ist 2500.
- d = √2500 = 50 m.
- Du sparst 70 m − 50 m = 20 m.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Skizze mit rechtem Winkel.
Gesucht: Hypotenuse oder Kathete?
Rechnen und Ergebnis prüfen.
Ein Beispiel
Ein rechteckiges Brett ist 40 cm breit und 30 cm hoch. Seine Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist √(40² + 30²) = √2500 = 50 cm lang.
Schritt für Schritt
Wir berechnen den Abstand von A(1|1) und B(5|4)
- Waagerecht: 5 − 1 = 4.
- Senkrecht: 4 − 1 = 3.
- d = √(4² + 3²) = √25.
- Der Abstand ist 5.
Mit einem Bild erklärt
| Situation | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Rechteck 12 cm × 5 cm, Diagonale | √(144 + 25) | 13 cm |
| Gleichschenkliges Dreieck, Basis 10 cm, Schenkel 13 cm, Höhe | √(169 − 25) | 12 cm |
| Quader 3 cm × 4 cm × 12 cm, Raumdiagonale | √(25 + 144) | 13 cm |
| Feld 40 m × 30 m, Diagonale | √(1600 + 900) | 50 m |
Zur Grundlage zurück
- Ist das Dreieck rechtwinklig? – Du erkennst jetzt rechte Winkel mit dem Satz.
- Konstruieren mit Zirkel und Lineal – Eine saubere Skizze hilft bei jeder Aufgabe.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Rechteck ist 12 cm lang und 5 cm breit. Wie lang ist die Diagonale in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Diagonale ist die Hypotenuse. Katheten sind 12 und 5.
Lösung ansehen
Lösung: 13
144 + 25 = 169 und √169 = 13.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Feld ist 60 m lang und 80 m breit. Wie lang ist der Weg quer über das Feld in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Weg quer über das Feld ist die Hypotenuse: d² = 60² + 80².
Lösung ansehen
Lösung: 100
3600 + 6400 = 10 000 und √10 000 = 100.
Tipp: Zeichne eine Skizze und markiere den rechten Winkel. Dann siehst du, welche Seite fehlt: eine Kathete oder die Hypotenuse.
Merksatz: Skizze, rechter Winkel, gesuchte Seite bestimmen, rechnen, Ergebnis prüfen.
Typischer Fehler: Viele rechnen die Raumdiagonale als Summe der Kanten: 3 + 4 + 12 = 19. Das ist zu lang. Rechne in zwei Schritten: erst die Flächendiagonale, dann die Raumdiagonale.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 10 cm und die Schenkel 13 cm. Wie hoch ist es in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Höhe halbiert die Basis. Eine Kathete ist 5 cm.
Lösung ansehen
Lösung: 12
h² = 169 − 25 = 144 und h = 12.
Frage 2 Die Punkte A(1|1) und B(5|4) liegen im Koordinatensystem. Wie groß ist der Abstand AB?
Zeig mir den ersten Schritt
Waagerecht 4, senkrecht 3.
Lösung ansehen
Lösung: 5
16 + 9 = 25 und √25 = 5.
Frage 3 Ein Quader hat die Kantenlängen 3 cm, 4 cm und 12 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Erst die Diagonale der Grundfläche 3 und 4.
Lösung ansehen
Lösung: 13
Diagonale der Grundfläche: √(9 + 16) = 5 cm. Raumdiagonale: √(25 + 144) = 13 cm.
Lösung ansehen
Lösung: 7 cm ist zu kurz: Die Diagonale muss länger als 12 cm sein.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Du wendest den Satz in Figuren, Körpern und im Alltag an und bewertest dein Ergebnis.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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