Nullstellen von Parabeln
Nullstellen sind die Stellen, an denen die Parabel die x-Achse trifft. Du berechnest sie mit den Verfahren dieses Themas.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was eine Nullstelle ist.
- Ich berechne Nullstellen mit einem passenden Verfahren.
- Ich erkenne, wie viele Nullstellen es gibt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Keine, eine oder zwei Lösungen, Die Normalparabel y = x²
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem y = 0 ist. Dort schneidet oder berührt die Parabel die x-Achse.
So findest du sie: Setze den Funktionsterm gleich 0 und löse die Gleichung.
Beispiel: y = x² − 4x − 5. Aus x² − 4x − 5 = 0 folgt x = 5 oder x = −1. Die Nullstellen sind −1 und 5.
Der x-Wert des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Hier ist die Mitte (−1 + 5) : 2 = 2. Bei x = 2 ist y = 4 − 8 − 5 = −9. Der Scheitelpunkt ist (2|−9).
Nullstellen von y = x² − 4x − 5
- Ansatz: y = 0, also x² − 4x − 5 = 0.
- p = −4, q = −5. −p/2 = 2. Wurzelterm: 4 + 5 = 9.
- x = 2 ± 3, also x = 5 oder x = −1.
- Nullstellen: −1 und 5.
- Mitte: (−1 + 5) : 2 = 2. Scheitelpunkt: (2|−9).
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Nullstelle heißt: y ist 0.
Also Term = 0 setzen.
Dann die Gleichung lösen.
Ein Beispiel
Ein Ball fliegt in einem Bogen. Dort, wo er den Boden berührt, ist die Höhe y = 0. Das ist eine Nullstelle.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Nullstellen von y = x² − 9
- y = 0: x² − 9 = 0.
- x² = 9.
- x = 3 oder x = −3.
- Zwei Nullstellen: −3 und 3.
Mit einem Bild erklärt
| Parabel | Gleichung | Nullstellen |
|---|---|---|
| y = x² − 9 | x² − 9 = 0 | −3 und 3 |
| y = x² − 6x + 9 | (x − 3)² = 0 | nur 3 |
| y = x² + 1 | x² + 1 = 0 | keine |
| y = 2x² − 8 | 2x² − 8 = 0 | −2 und 2 |
Zur Grundlage zurück
- Keine, eine oder zwei Lösungen – Die Anzahl der Nullstellen folgt aus der Anzahl der Lösungen.
- Die Normalparabel y = x² – Die Normalparabel kennst du aus dem Thema Quadratische Funktionen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Welchen Wert hat die positive Nullstelle von y = x² − 9?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x² − 9 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x² = 9, also x = 3 oder x = −3.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Welche Nullstelle hat y = x² − 6x + 9?
Zeig mir den ersten Schritt
Das ist (x − 3)².
Lösung ansehen
Lösung: 3
(x − 3)² = 0 gilt nur bei x = 3. Die Parabel berührt die x-Achse.
Tipp: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, zum Beispiel x = 5. Der zugehörige Punkt auf der x-Achse ist (5|0).
Merksatz: Nullstellen: Funktionsterm gleich 0 setzen und die Gleichung lösen. Anzahl der Nullstellen = Anzahl der Lösungen.
Typischer Fehler: Viele verwechseln Nullstellen und Scheitelpunkt. Die Nullstellen liegen auf der x-Achse. Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: keine
Frage 2 Wie groß ist die positive Nullstelle von y = 2x² − 8?
Zeig mir den ersten Schritt
2x² = 8.
Lösung ansehen
Lösung: 2
x² = 4, also x = 2.
Frage 3 Eine Parabel hat die Nullstellen −1 und 5. Bei welchem x liegt der Scheitelpunkt?
Zeig mir den ersten Schritt
Nimm die Mitte der beiden Werte.
Lösung ansehen
Lösung: 2
(−1 + 5) : 2 = 2.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Nullstellen berechnest du, indem du y = 0 setzt. Zwei Nullstellen, eine oder keine sind möglich.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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