Scheitelpunkt und Nullstellen deuten
Scheitelpunkt und Nullstellen haben in jeder Situation eine Bedeutung. Du erklärst sie mit Einheiten.
Das lernst du heute
- Ich erkläre den Scheitelpunkt in einer Situation.
- Ich erkläre Nullstellen und den y-Achsenabschnitt.
- Ich berechne Wurfweite und größte Höhe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Wurfbahnen und Brückenbögen, Nullstellen von Parabeln
Beim Ball h(x) = −0,25x² + 2x liegt der Scheitelpunkt bei (4|4). Das heißt: In 4 m Entfernung ist der Ball am höchsten, nämlich 4 m hoch.
Die Nullstellen zeigen, wo der Ball am Boden ist. Aus −0,25x² + 2x = 0 folgt durch Ausklammern x · (−0,25x + 2) = 0. Also x = 0 oder x = 8. Bei x = 0 wird geworfen, bei x = 8 landet er. Die Wurfweite ist 8 m.
Der y-Achsenabschnitt ist die Höhe bei x = 0. Das ist die Starthöhe. Ein Beispiel: Bei h(x) = −0,25x² + 2x + 1 wird der Ball aus 1 m Höhe geworfen.
| Mathe-Begriff | Bedeutung beim Ball |
|---|---|
| Scheitelpunkt (4|4) | höchster Punkt: 4 m hoch, 4 m weit |
| Nullstelle x = 0 | Abwurfstelle |
| Nullstelle x = 8 | Landestelle, Wurfweite 8 m |
| y-Achsenabschnitt | Starthöhe |
Wasserstrahl h(x) = −(x − 2)² + 4
- Scheitelpunktform: Scheitelpunkt (2|4).
- Bedeutung: höchster Punkt bei 2 m Entfernung, 4 m hoch.
- Nullstellen: −(x − 2)² + 4 = 0 gibt (x − 2)² = 4.
- x − 2 = 2 oder x − 2 = −2, also x = 4 oder x = 0.
- Der Strahl ist bei 0 m und 4 m am Boden. Die Weite beträgt 4 m.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Scheitelpunkt: höchster Punkt.
Nullstellen: Boden.
y-Achsenabschnitt: Start.
Ein Beispiel
Bei einer Fontäne siehst du den höchsten Punkt des Strahls. Dort, wo das Wasser auftrifft, ist die Höhe 0.
Schritt für Schritt
Wir deuten den Wasserstrahl
- Scheitelpunkt (2|4): bei 2 m Entfernung 4 m hoch.
- Nullstellen 0 und 4: Start und Auftreffpunkt.
- Weite: 4 m.
- Höchste Höhe: 4 m.
Mit einem Bild erklärt
| Entfernung x in m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Höhe in m | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
Zur Grundlage zurück
- Wurfbahnen und Brückenbögen – Das Ballmodell kennst du aus der Lektion davor.
- Nullstellen von Parabeln – Nullstellen hast du dort berechnet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: In 4 m Entfernung ist der Ball 4 m hoch.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Beim Wasserstrahl h(x) = −(x − 2)² + 4 sind die Nullstellen 0 und 4. Wie weit spritzt er in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
Nimm die zweite Nullstelle.
Lösung ansehen
Lösung: 4
Der Strahl landet bei x = 4, also nach 4 m.
Tipp: Schreibe jede Deutung als ganzen Satz mit Einheit: „Der Ball ist in 4 m Entfernung 4 m hoch.“
Merksatz: Scheitelpunkt: höchster (oder tiefster) Punkt. Nullstellen: Stellen mit Höhe 0. y-Achsenabschnitt: Wert bei x = 0, zum Beispiel die Starthöhe.
Typischer Fehler: Viele verwechseln die Koordinaten. Beim Scheitelpunkt (4|4) ist die erste Zahl die Entfernung, die zweite die Höhe.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Wie hoch ist der Wasserstrahl h(x) = −(x − 2)² + 4 an der höchsten Stelle in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
Lies den Scheitelpunkt (2|4) ab.
Lösung ansehen
Lösung: 4
Die größte Höhe ist 4 m.
Frage 2 Aus welcher Höhe in Metern wird geworfen? h(x) = −0,25x² + 2x + 1
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 0 ein.
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Lösung: 1
h(0) = 1.
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Lösung: Nullstelle
Lösung ansehen
Lösung: Funktionsterm gleich 0 setzen und die größere Lösung nehmen
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Beim Deuten übersetzt du Mathe-Begriffe in die Situation. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt, die Nullstellen sind die Stellen am Boden.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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