Sinus, Kosinus und Tangens
Aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bildest du ein Verhältnis. Je nach Seiten heißt es Sinus, Kosinus oder Tangens.
Das lernst du heute
- Ich nenne die Definitionen von sin, cos und tan.
- Ich berechne die drei Verhältnisse aus den Seiten.
- Ich erkenne, dass sin α = cos β gilt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse
Teile eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks durch eine andere Seite. Das Ergebnis heißt Seitenverhältnis. Es gibt drei wichtige Verhältnisse für einen Winkel α:
Sinus: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse.
Kosinus: cos α = Ankathete : Hypotenuse.
Tangens: tan α = Gegenkathete : Ankathete.
Im Dreieck aus der letzten Lektion gilt für α: Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5. Also ist sin α = drei Fünftel = 0,6. Es ist cos α = vier Fünftel = 0,8 und tan α = drei Viertel = 0,75. Für den Winkel β bei B tauschen die Katheten die Rollen: sin β = vier Fünftel = 0,8, cos β = drei Fünftel = 0,6.
| Verhältnis | Rechnung | Wert für α |
|---|---|---|
| sin α | Gegenkathete : Hypotenuse | drei Fünftel = 0,6 |
| cos α | Ankathete : Hypotenuse | vier Fünftel = 0,8 |
| tan α | Gegenkathete : Ankathete | drei Viertel = 0,75 |
Sinus, Kosinus und Tangens berechnen
- Dreieck mit Gegenkathete 5, Ankathete 12, Hypotenuse 13.
- sin α = fünf 13tel ≈ 0,385.
- cos α = zwölf 13tel ≈ 0,923.
- tan α = fünf Zwölftel ≈ 0,417.
- Der Sinus und der Kosinus sind kleiner als 1, denn die Hypotenuse ist die längste Seite.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse.
Kosinus: Ankathete durch Hypotenuse.
Tangens: Gegenkathete durch Ankathete.
Ein Beispiel
Eine Rampe ist 10 m lang. Sie steigt 6 m hoch. Dann ist sin α = sechs Zehntel = 0,6. Der Sinus sagt also, welcher Teil der Rampenlänge die Höhe ist.
Schritt für Schritt
Wir berechnen die Verhältnisse für ein Dreieck mit 6, 8 und 10
- Der Winkel α liegt der Seite 6 gegenüber. Gegenkathete 6, Ankathete 8, Hypotenuse 10.
- sin α = sechs Zehntel = 0,6.
- cos α = acht Zehntel = 0,8.
- tan α = sechs Achtel = 0,75.
Mit einem Bild erklärt
| Seite | Länge |
|---|---|
| Gegenkathete | 6 |
| Ankathete | 8 |
| Hypotenuse | 10 |
| sin α = 6 : 10 | 0,6 |
| cos α = 8 : 10 | 0,8 |
| tan α = 6 : 8 | 0,75 |
Zur Grundlage zurück
- Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse – Die Seitennamen brauchst du hier.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: 0,8
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: 0,6
Tipp: Schreibe zuerst die drei Seiten mit ihren Namen auf. Dann setzt du die richtigen Zahlen in den Bruch ein.
Merksatz: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse. cos α = Ankathete : Hypotenuse. tan α = Gegenkathete : Ankathete.
Typischer Fehler: Viele vertauschen sin und cos. Merke: Beim Sinus steht die Gegenkathete oben, beim Kosinus die Ankathete. Beide teilen durch die Hypotenuse.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Gegenkathete : Ankathete
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 3 Im Dreieck sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang, beide 9 cm. Wie groß ist tan α?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile Gegenkathete durch Ankathete.
Lösung ansehen
Lösung: 1
9 : 9 = 1.
Lösung ansehen
Lösung: sin β = 0,8
Geschafft
Sinus, Kosinus und Tangens sind Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Sie gehören immer zu einem Winkel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Trigonometrie im Dreieck
Kurz erklärt, 48 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen