Strecken, stauchen, spiegeln
Die Zahl a in y = a · x² verändert die Form der Parabel. Sie macht sie schmaler, breiter oder kehrt sie um.
Das lernst du heute
- Ich berechne y-Werte von y = a · x².
- Ich erkenne, wann die Parabel schmaler oder breiter ist.
- Ich erkenne, wann sie nach unten geöffnet ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Normalparabel y = x²
Die Funktion y = a · x² gibt es für jede Zahl a. Die Zahl a heißt Streckfaktor.
Bei a = 2 sind alle y-Werte doppelt so groß wie bei y = x². Die Parabel wird schmaler. Man sagt: Sie ist gestreckt.
Bei a = 0,5 sind alle y-Werte nur halb so groß. Die Parabel wird breiter. Sie ist gestaucht.
Bei negativem a ändern alle y-Werte ihr Vorzeichen. Die Parabel öffnet nach unten. Sie ist an der x-Achse gespiegelt. Der Scheitelpunkt bleibt bei (0|0).
Für die Form zählt nur die Zahl ohne Vorzeichen. Man schreibt sie |a| (Betrag von a). Bei a = −3 ist |a| = 3.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| y = 2x² | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| y = 0,5x² | 2 | 0,5 | 0 | 0,5 | 2 |
| y = −x² | −4 | −1 | 0 | −1 | −4 |
y-Werte von y = −3x²
- Setze x ein, quadriere, multipliziere mit −3.
- x = 1: −3 · 1² = −3.
- x = 2: −3 · 2² = −3 · 4 = −12.
- x = −2: −3 · (−2)² = −3 · 4 = −12.
- a ist negativ und |a| ist größer als 1: nach unten geöffnet und schmaler.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
a sagt, wie steil die Parabel ist.
Große Zahl (ohne Vorzeichen): schmal.
Kleine Zahl (ohne Vorzeichen): breit.
Minus: nach unten.
Ein Beispiel
Eine Schüssel mit steilem Rand ist schmal, eine flache Schale ist breit. Eine umgedrehte Schüssel entspricht einem negativen a.
Schritt für Schritt
Wir berechnen Punkte für y = 2x²
- x = 1: 2 · 1² = 2.
- x = 2: 2 · 2² = 2 · 4 = 8.
- x = −2: 2 · (−2)² = 8.
- Die y-Werte sind doppelt so groß wie bei y = x².
Mit einem Bild erklärt
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y = x² | 1 | 4 | 9 |
| y = 2x² | 2 | 8 | 18 |
Zur Grundlage zurück
- Die Normalparabel y = x² – Die Normalparabel kennst du aus der Lektion davor.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Berechne y für y = 2x² bei x = 3.
Zeig mir den ersten Schritt
Erst 3² = 9, dann mal 2.
Lösung ansehen
Lösung: 18
2 · 9 = 18.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne y für y = −x² bei x = 4.
Zeig mir den ersten Schritt
Erst 4² = 16, dann das Minuszeichen.
Lösung ansehen
Lösung: -16
−1 · 16 = −16.
Tipp: Quadriere zuerst, multipliziere dann mit a. Bei y = −3x² und x = 2 rechnest du −3 · 4.
Merksatz: |a| > 1: schmaler. |a| < 1: breiter. a < 0: nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt bleibt bei (0|0).
Typischer Fehler: Viele denken: Bei a = 0,5 wird die Parabel schmaler, weil 0,5 klein ist. Das stimmt nicht. Die y-Werte werden kleiner, die Kurve steigt langsamer und wird breiter.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Berechne y für y = 3x² bei x = 2.
Zeig mir den ersten Schritt
3 · 2².
Lösung ansehen
Lösung: 12
3 · 4 = 12.
Frage 2 Berechne y für y = −2x² bei x = 3.
Zeig mir den ersten Schritt
−2 · 3².
Lösung ansehen
Lösung: -18
−2 · 9 = −18.
Lösung ansehen
Lösung: y = 3x²
Lösung ansehen
Lösung: Nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Der Streckfaktor a bestimmt die Form. Ein großes |a| macht die Parabel schmal, ein kleines |a| macht sie breit. Ein negatives a dreht sie nach unten.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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