Wo Parabel und Gerade sich treffen
Treffen sich eine Parabel und eine Gerade, setzt du die Terme gleich. Du erhältst eine quadratische Gleichung.
Das lernst du heute
- Ich setze Parabel und Gerade gleich.
- Ich berechne gemeinsame Punkte.
- Ich deute den Schnittpunkt in einer Situation.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die p-q-Formel, Wo sich zwei Geraden schneiden
Ein Ball fliegt in einer Parabel, ein Hang steigt als Gerade an. Wo trifft der Ball den Hang?
Dort haben beide dieselbe Höhe. Du setzt die Funktionsterme gleich. Beim Ball h(x) = −0,25x² + 2x und dem Hang g(x) = 0,5x ergibt das:
−0,25x² + 2x = 0,5x
Bringe alles auf eine Seite: −0,25x² + 1,5x = 0. Klammere x aus: x · (−0,25x + 1,5) = 0. Also x = 0 oder x = 6. Bei x = 0 ist der Abwurf. Bei x = 6 trifft der Ball den Hang. Die Höhe ist g(6) = 3 m.
Das Verfahren ist immer gleich: gleichsetzen, auf eine Seite bringen, lösen, y-Wert ausrechnen.
| Parabel | Gerade | Gleichung | Schnittpunkte |
|---|---|---|---|
| y = x² | y = x + 2 | x² − x − 2 = 0 | (−1|1) und (2|4) |
| y = x² | y = 2x + 3 | x² − 2x − 3 = 0 | (−1|1) und (3|9) |
| y = x² − 4 | y = 2x − 1 | x² − 2x − 3 = 0 | (−1|−3) und (3|5) |
y = x² und y = x + 2
- Gleichsetzen: x² = x + 2.
- Umformen: x² − x − 2 = 0. Also p = −1 und q = −2.
- p-q-Formel: x = ein halb ± √(ein Viertel + 2) = ein halb ± drei Halbe.
- x = 2 oder x = −1.
- y-Werte mit der Geraden: y = 2 + 2 = 4 und y = −1 + 2 = 1.
- Schnittpunkte: (2|4) und (−1|1). Probe: 2² = 4 und (−1)² = 1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gleichsetzen.
Alles auf eine Seite.
Lösen.
y ausrechnen.
Ein Beispiel
Zwei Wege kreuzen sich auf einer Karte. Am Kreuzungspunkt haben beide dieselben Koordinaten.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen die Schnittpunkte von y = x² und y = 3x
- Gleichsetzen: x² = 3x.
- Auf eine Seite: x² − 3x = 0.
- Ausklammern: x(x − 3) = 0.
- x = 0 oder x = 3.
- y-Werte: 3 · 0 = 0 und 3 · 3 = 9.
- Schnittpunkte (0|0) und (3|9).
Mit einem Bild erklärt
| x | y = x² | y = 3x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 3 | 9 | 9 |
Zur Grundlage zurück
- Die p-q-Formel – Die p-q-Formel brauchst du fürs Lösen.
- Wo sich zwei Geraden schneiden – Das Gleichsetzen kennst du von zwei Geraden.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse x² = x + 2. Wie lautet die positive Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
Löse x² − x − 2 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 2
x = 2 oder x = −1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Der Hang verläuft nach g(x) = 0,5x. Der Ball trifft ihn bei x = 6. Wie hoch ist der Hang dort in Metern?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 6 in g ein.
Lösung ansehen
Lösung: 3
0,5 · 6 = 3.
Tipp: Du brauchst am Ende immer beide Koordinaten. Setze jeden x-Wert in eine der Funktionen ein.
Merksatz: Parabel und Gerade gleichsetzen, auf eine Seite bringen, quadratische Gleichung lösen, y-Werte berechnen. Es gibt zwei, einen oder keinen gemeinsamen Punkt.
Typischer Fehler: Viele geben nur die x-Werte an. Ein Schnittpunkt hat aber zwei Koordinaten: (x|y).
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (2|4) und (−1|1)
Frage 2 Löse x² = 2x + 3. Wie lautet die größere Lösung?
Zeig mir den ersten Schritt
x² − 2x − 3 = 0.
Lösung ansehen
Lösung: 3
x = 1 ± 2, also 3 oder −1.
Frage 3 Welchen y-Wert hat der Schnittpunkt von y = x² − 4 und y = 2x − 1 bei x = 3?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 3 in 2x − 1 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 5
2 · 3 − 1 = 5. Auch 3² − 4 = 5.
Lösung ansehen
Lösung: einen
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Beim Gleichsetzen von Parabel und Gerade entsteht eine quadratische Gleichung. Ihre Lösungen sind die x-Werte der gemeinsamen Punkte.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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