Die größte Fläche finden
Aus einem Zaun mit fester Länge baust du ein Beet. Mit einer Parabel findest du die größte mögliche Fläche.
Das lernst du heute
- Ich stelle eine Flächenfunktion auf.
- Ich bestimme die größte Fläche mit dem Scheitelpunkt.
- Ich gebe Maße und Fläche im Antwortsatz an.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Scheitelpunkt und Nullstellen deuten, Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt
Du hast 20 m Zaun. Damit baust du ein rechteckiges Beet an einer Hauswand. Die Wand braucht keinen Zaun. Du zäunst nur drei Seiten ein.
Die beiden kurzen Seiten sind x lang. Für die lange Seite bleibt 20 − 2x. Die Fläche ist A(x) = x · (20 − 2x) = −2x² + 20x.
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. Die Nullstellen sind x = 0 und x = 10. Genau in der Mitte, bei x = 5, liegt der Scheitelpunkt. Dort ist A(5) = 5 · 10 = 50.
Die größte Fläche ist 50 m². Das Beet ist 5 m breit und 10 m lang.
| Breite x in m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fläche A(x) in m² | 18 | 32 | 42 | 48 | 50 | 48 | 42 | 32 | 18 |
Größtes Beet an der Hauswand
- Breite x, Länge 20 − 2x. Fläche A(x) = x(20 − 2x).
- Nullstellen: x = 0 und x = 10.
- Die Mitte der Nullstellen ist x = 5. Dort liegt der Scheitelpunkt.
- A(5) = 5 · (20 − 10) = 5 · 10 = 50.
- Antwort: 5 m breit, 10 m lang, größte Fläche 50 m².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Seite x, andere Seite aus dem Zaun berechnen.
Fläche als Produkt aufschreiben.
Schau, wo die Parabel am höchsten ist.
Ein Beispiel
Bei einem Beet ohne Wand hast du 20 m Zaun rundherum. Die zweite Seite ist dann (20 − 2x) : 2 = 10 − x. Die Fläche ist A(x) = x · (10 − x). Bei x = 5 ist sie am größten: 25 m². Das ist ein Quadrat.
Schritt für Schritt
Wir suchen zwei Zahlen mit Summe 12 und größtem Produkt
- Erste Zahl x, zweite Zahl 12 − x.
- Produkt: P(x) = x(12 − x) = −x² + 12x.
- Nullstellen 0 und 12, Mitte x = 6.
- P(6) = 6 · 6 = 36.
- Die Zahlen 6 und 6 haben das größte Produkt.
Mit einem Bild erklärt
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Produkt | 11 | 20 | 27 | 32 | 35 | 36 | 35 | 32 | 27 | 20 | 11 |
Zur Grundlage zurück
- Scheitelpunkt und Nullstellen deuten – Scheitelpunkt und Nullstellen hast du dort gedeutet.
- Ausklammern und der Satz vom Nullprodukt – Das Nullprodukt gibt dir die Nullstellen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie groß ist die Fläche in m² bei x = 4 m Breite? A(x) = x · (20 − 2x)
Zeig mir den ersten Schritt
Länge: 20 − 2 · 4 = 12.
Lösung ansehen
Lösung: 48
4 · 12 = 48.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Für das Beet gilt A(x) = x · (20 − 2x). Wie groß ist die größte Fläche in m²?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze die Mitte der Nullstellen ein: x = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 50
5 · 10 = 50 m².
Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunkts liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen. Das spart oft die p-q-Formel.
Merksatz: Größte oder kleinste Werte findest du am Scheitelpunkt. Stelle zuerst die Funktion auf, dann bestimme den Scheitelpunkt.
Typischer Fehler: Viele geben nur die größte Fläche an. Wird nach den Maßen gefragt? Dann rechne auch die zweite Seite aus: 20 − 2 · 5 = 10 m.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 5 m breit, 10 m lang
Frage 2 Zwei Zahlen haben die Summe 12. Wie groß ist das größte mögliche Produkt?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Zahlen sind x und 12 − x.
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Lösung: 36
Bei x = 6 ist 6 · 6 = 36.
Frage 3 Wie lang ist die lange Seite des Beets bei x = 6 m? Es gilt 20 − 2x.
Zeig mir den ersten Schritt
20 − 2 · 6.
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Lösung: 8
20 − 12 = 8 m.
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Lösung: Stimmt
Geschafft
Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel liefert den größten Wert. Damit findest du die größte Fläche.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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