Binomische Formeln
Quadrate von Summen kannst du mit drei Formeln schnell ausrechnen. Du siehst, woher sie kommen.
Das lernst du heute
- Ich kenne die drei binomischen Formeln.
- Ich wende sie auf Zahlen und Terme an.
- Ich erkläre die erste Formel an einem Quadrat.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Ausmultiplizieren und Ausklammern
Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b hat die Fläche (a + b)². Du kannst es in vier Stücke teilen: ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei Rechtecke a · b. Das ergibt die erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Entsprechend gilt (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b) · (a − b) = a² − b². Beispiel: (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9. Auch im Kopfrechnen hilft das: 19² = (20 − 1)² = 400 − 40 + 1 = 361.
| Formel | Beispiel |
|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 2)² = x² − 4x + 4 |
| (a + b) · (a − b) = a² − b² | 21 · 19 = 20² − 1 = 399 |
Die erste Formel anwenden
- Aufgabe: (x + 4)².
- a ist x, b ist 4.
- a² = x² und b² = 16.
- Mittleres Glied: 2 · x · 4 = 8x.
- Ergebnis: x² + 8x + 16.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
(a + b)² heißt (a + b) mal (a + b).
Das gibt a², zweimal ab und b².
Das mittlere Glied nicht vergessen.
Ein Beispiel
Ein quadratisches Beet hat die Seitenlänge 5 m + 2 m = 7 m. Die Fläche ist 7 · 7 = 49 m². Zerlegt in Teile: 25 m² + 10 m² + 10 m² + 4 m² = 49 m².
Schritt für Schritt
Wir rechnen 7² mit der ersten Formel
- Zerlege: 7 = 5 + 2.
- a² = 25 und b² = 4.
- Mittleres Glied: 2 · 5 · 2 = 20.
- Zusammen: 25 + 20 + 4 = 49.
Mit einem Bild erklärt
| a = 5 | b = 2 | |
|---|---|---|
| a = 5 | a² = 25 | ab = 10 |
| b = 2 | ab = 10 | b² = 4 |
Zur Grundlage zurück
- Ausmultiplizieren und Ausklammern – Ausmultiplizieren brauchst du als Grundlage.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: x² + 8x + 16
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Berechne 31² mit (30 + 1)². Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
a² = 900, b² = 1, mittleres Glied 2 · 30 · 1.
Lösung ansehen
Lösung: 961
900 + 60 + 1 = 961.
Tipp: Das mittlere Glied 2ab vergisst man am häufigsten. Schreibe es als erstes hin.
Merksatz: Quadrat einer Summe: Quadrat, doppeltes Produkt, Quadrat. (a + b)² = a² + 2ab + b².
Typischer Fehler: Viele schreiben (a + b)² = a² + b². Setze a = 2, b = 3: 25, aber 4 + 9 = 13. Das mittlere Glied fehlt.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: y² − 4y + 4
Frage 2 Rechne 49 · 51 mit (50 − 1) · (50 + 1).
Zeig mir den ersten Schritt
Dritte Formel: 50² − 1².
Lösung ansehen
Lösung: 2499
2 500 − 1 = 2 499.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: a² − b²
Geschafft
Du wendest die drei binomischen Formeln an und prüfst sie mit Zahlen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Terme umformen
Kurz erklärt, 46 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch, wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen